第五节实用算术的发展与敦煌算书

唐代中期以后，普遍推行“两税法”的赋税制度，经济情况得到一定程度的复兴，农业、手工业和商业有了较大的发展。与此相应，人们在日常生活中需要进行计算的机会大量增加，从而产生改进和简化筹算算法的迫切要求，促进了实用算术的发展，并且取得了显著的成就。例如，以《夏侯阳算经》名义流传至今的《韩延算术》，是一部可供地方官吏和平民百姓学习数学知识和计算技术的实用算术书。全书共三卷八十三题，书中收集和征引各家算法及当时法令，保存了宝贵的数学史料。其中记载有将筹算多位数乘除转变为单位数乘除的算法，把要摆放上中下三层的筹算简化为在一个横列里演算。如乘数为35，就可以先乘5，然后乘7。除数为12，可以先折半，然后再除以6。当乘数首位是1时，又可以“以加代乘”。如乘数是14，可用“身外添四”法，即被乘数不动（这相当于该数乘以10），然后再退一位加上该数的4倍；乘数是102，可用“隔位加二”法，除数是12，可用“身外减二”法，等等，都在被乘数或被除数筹式本身上进行演算。对于更多位数的乘除，可用类似的方法去处理。如果乘数或除数的首位数不是1，还能采用各种方法将它化为1，然后再来计算。这种算法叫做“求一”或“得一”算法，当时曾受到不少数学家的关注。据史籍记载，晚唐天文学家边冈“用算巧，能驰骋反复于乘除间。由是简捷、超径、等接之术兴，而经制、远大、衰序之法废矣”①。这也从一个侧面反映了唐代学者在简化数字计算方面的成果及其影响。中唐以后乃至宋元时期，改革和简化筹算算法的工作一直在继续着，并且不断有所进展，其中许多成果还被后来的珠算术所吸收，直到珠算完全代替筹算，这一工作方告结束。涉及筹算改革的专门书籍，除《韩延算术》外，还有陈从运《得一算经》七卷，“其术以因折而成，取损益之道，且变而通之，皆合于数”①，江本《一位算法》2卷，龙受益《算法》2卷、《求一算术化零歌》1卷、《新易一法算范要诀》1卷等，但可惜的是这些著作都已失传了。

据史籍记载，庸宋之际数学著作为数不少，而传留至今者则不多。十九世纪末在敦煌莫高窟藏经洞发现了大批历史文献。在这批文献中包含有四种写本算经②：《算经（并序）》1卷、《算书》和《算表》，这三种现藏法国国立巴黎图书馆；另两部《算经（并序）》1卷，其内容与巴黎藏本完全相同，实际上是同一本书，此外还有《立成算经》一卷，这三部书现藏英国伦敦大不列颠博物馆。以上四种算书大致说来可能成书于中晚唐或五代时期，是研究这一时期数学的重要史料。《算经》序中提到“凡算者正身端坐”，“盖意明情乐者，安有不成哉”，等等，在战乱时期一般不会有如此平和的心境，书中还有“又据大唐令文”字样，关于大数记法和度量衡制度与《孙子算经》相同，另外此书有三个抄本，可见在当时是比较流行的，因此《算经（并序）》有可能是唐中期的作品。《算表》标明是五代时后周太祖广顺二年（952）写本。《算书》载有男丁给米，养马给粟，造袍用绵，城楼用兵，石车钩弩，领军出征等问题，显然适应于军事计算的需要，因此这部书可能

①《新唐书》卷二八《历志》。①《新唐书》卷五九《艺文志》，《宋史·律历志》。②详见李俨：《中国古代数学史料》，上海科学技术出版社1963年版。以下敦煌算书引文，均转引自此书。

写于战乱频仍的五代时期。《立成算经》关于大数记法和度量衡制度趋于简约，与《孙子算经》和《算经（并序）》有所不同，所列算法表也很简明扼要，便于查索，因此可能也是五代时的作品。敦煌藏经洞发现的这四种算书所包含的数学内容主要有算筹记数法、大数记法、度量衡制，以及乘法口诀、四则运算、面积、体积计算和算表等，其中所载算题及乘法、乘方、累加和田亩等计算用表，有些很有实用价值，为唐以前算书所未见。这些来自民间的算书，反映了唐宋之际民间数学教育和数学知识应用的真实情况。