十二 余弦定理和新闻的分类
余弦定理和新闻的分类似乎是两件八杆子打不着的事，但是它们确有紧密的联系。具体说，新闻的分类很大程度上依靠余弦定理。
Google的新闻是自动分类和整理的。所谓新闻的分类无非是要把相似的新闻放到一类中。计算机其实读不懂新闻，它只能快速计算。这就要求我们设计一个算法来算出任意两篇新闻的相似性。为了做到这一点，我们需要想办法用一组数字来描述一篇新闻。
我们来看看怎样找一组数字，或者说一个向量来描述一篇新闻。回忆一下我们在"如何度量网页相关性"一文中介绍的TF/IDF的概念。对于一篇新闻中的所有实词，我们可以计算出它们的单文本词汇频率/逆文本频率值（TF/IDF)。不难想象，和新闻主题有关的那些实词频率高，TF/IDF值很大。我们按照这些实词在词汇表的位置对它们的TF/IDF值排序。比如，词汇表有六万四千个词，分别为
单词编号汉字词
1阿
2啊
3阿斗
4阿姨
...
789服装
....
64000做作
在一篇新闻中，这64,000个词的TF/IDF值分别为
单词编号TF/IDF值
==============
10
20.0034
30
40.00052
50
...
7890.034
...
640000.075
如果单词表中的某个次在新闻中没有出现，对应的值为零，那么这64,000个数，组成一个64,000维的向量。我们就用这个向量来代表这篇新闻，并成为新闻的特征向量。如果两篇新闻的特征向量相近，则对应的新闻内容相似，它们应当归在一类，反之亦然。
学过向量代数的人都知道，向量实际上是多维空间中有方向的线段。如果两个向量的方向一致，即夹角接近零，那么这两个向量就相近。而要确定两个向量方向是否一致，这就要用到余弦定理计算向量的夹角了。
余弦定理对我们每个人都不陌生，它描述了三角形中任何一个夹角和三个边的关系，换句话说，给定三角形的三条边，我们可以用余弦定理求出三角形各个角的角度。假定三角形的三条边为a,b和c，对应的三个角为A,B和C，那么角A的余弦--
如果我们将三角形的两边b和c看成是两个向量，那么上述公式等价于
其中分母表示两个向量b和c的长度，分子表示两个向量的内积。举一个具体的例子，假如新闻X和新闻Y对应向量分别是x1,x2,...,x64000和y1,y2,...,y64000，那么它们夹角的余弦等于，
当两条新闻向量夹角的余弦等于一时，这两条新闻完全重复（用这个办法可以删除重复的网页）；当夹角的余弦接近于一时，两条新闻相似，从而可以归成一类；夹角的余弦越小，两条新闻越不相关。
我们在中学学习余弦定理时，恐怕很难想象它可以用来对新闻进行分类。在这里，我们再一次看到数学工具的用途。