三百三十四节 真或假
“复合命题由一个或多个简单命题合成，那么其合成的方式，我们称之为‘联结词’。比如，‘这张卡片不是奴隶’，‘这张卡片是16岁以上的男人’，‘这张卡片是原籍福建或海南的人’，这是三个复合命题。”
“第一个命题，是对‘这张卡片是奴隶’这一简单命题的一种否定，合成方式是‘非’；第二个命题，由‘这张卡片是16岁以上的人’和‘这张卡片是男性’两个简单命题构成，合成方式是‘与’，也就是两个简单命题同时为‘真’时，复合命题为‘真’；而第三个命题，由‘这张卡片是原籍福建的人’和‘这张卡片是原籍海南的人’两个简单命题构成，合成方式是‘或’，也就是两个简单命题中的任意一个为‘真’时，复合命题为‘真’。”
“所以，我们有了联结多个命题使之成为更大命题的三种手段，与，或，非。其实还有另外两种，不过暂时与分类机的设计无关，这里先略过。”
“我们用符号来表示命题和联结词，则任何一项查询，都能表示为一个表达式。显然，令表达式为‘真’的卡片，就是我们要寻找的卡片。而分类机的作用，就是对所有卡片，判断这个表达式是否为‘真’。”
“因此，凡是我们的分类机能够判断‘真/假’的表达式，就是我们能够解决的问题，凡是我们的分类机无法判断真假的表达式，就是我们不能解决的问题。”
“这就是我们对这一问题的初步抽象。”
冯诺在黑板上写下了几个奇怪的符号∨（或）、∧（与）、┐（非），看起来像是旋转了90度的大于号和小于号，还有倒过来的拉丁字母L。
“好，现在可以写一下
‘原籍福建或海南的人’这一命题的表达式了，海南是100，福建是122，所以我们令
命题A：‘地区码第1位为1’，
命题B：‘地区码第2位为0’，
命题C：‘地区码第3位为0’，
命题D：‘地区码第2位为2’，
命题E：‘地区码第3位为2’，
则，复合命题的表达式为：‘(A∧B∧C)∨(A∧D∧E)’。”
“我们的分类机是如何判断真假的呢？是通过检验穿孔卡是否穿孔，也就是说，分类机的每个读卡单元，能够判断复合命题中的一个简单命题的真假。同时，通过一个控制继电器，我们可以让每个读卡单元，判断仅有1个‘非’联结词的复合命题，也就是一个简单命题的非命题的真假。”
“假如我们仅有1个读卡单元，那么仅此而已。但是现在我们有10个读卡单元，所以事情要复杂一些。不过仍然是可以分析的。请大家注意，每个读卡单元侧面的卡袋，装入的卡片的特点：
k号卡袋中的卡片，是1~k-1号命题的‘非’命题的‘与’、再‘与’k号命题。
经过k号读卡单元的剩余卡片，是满足1~k号所判断的命题的‘非’命题的‘与’。
1~k号卡袋里面的卡片，合起来是满足1~k号所判断的命题的‘或’。
假设我们的读卡单元所判断的简单命题（或简单命题的非命题）为p1，p2，...，p10。
则我们所能够判断的命题表达式为：
1号卡袋：p1
2号卡袋：┐p1∧p2
3号卡袋：┐p1∧┐p2∧p3
4号卡袋：┐p1∧┐p2∧┐p3∧p4
...
10号卡袋：┐p1∧┐p2∧...∧┐p9∧p10
最终剩余卡片：┐p1∧┐p2∧...∧┐p10
最后由于这些卡片被彼此分开，所以我们最终可以自由选择任意多个卡袋的卡片合在一起，也就是上述表达式之间的‘或’；其中最重要的，是从1~k号的连续k个卡袋中的卡片合在一起，其结果为：p1∨...∨pk，即以p1为开头的连续‘或’运算；
而经过k号读卡单元后机器上剩余的卡片，可表示为┐p1∧...∧┐pk，即以┐p1为开头的连续‘与’运算。”
“所以，凡是能变换成上述形式表达式的命题，就是分类机能够查找的，否则，就是分类机不能查找的。”
“我给加奈出的问题，找出三亚大区除奴隶以外的卡片，可以分解成如下的简单命题或简单命题的非命题：
命题A：‘地区码第1位不为1’，
命题B：‘地区码第2位不为0’，
命题C：‘地区码第3位不为0’，
命题D：‘地区码第4位不为1’，
命题E：‘地区码第5位为1’，
命题F：‘地区码第5位不为2’
命题G：‘地区码第6位不为9’
命题H：‘地区码第7位不为9’
┐A∧┐B∧┐C∧┐D∧E，这是10011，三亚榆林，它符合5号卡袋的表达式，所以这些卡片位于5号卡袋中，可以记为p5。
┐A∧┐B∧┐C∧┐D∧┐E∧┐F∧G，这是100120~100128，三亚田独11~89公社，它符合7号卡袋的表达式，所以这些卡片位于7号卡袋中，可记为p7。
┐A∧┐B∧┐C∧┐D∧┐E∧┐F∧┐G∧H，这是1001290~1001298，三亚田独90~98公社，它符合8号卡袋的表达式，所以这些卡片位于8号卡袋中，可记为p8。
后两者合起来，即p7∨p8，是三亚田独，但不包括奴隶。三者全部合起来，即p5∨p7∨p8，是我们所要的结果。因为这个表达式符合我们上面的形式，所以分类机可以解决。”
“而‘(A∧B∧C)∨(A∧D∧E)’，无论我们怎样变换，是不能变换成上述表达式的，因而是当前的分类机所不能解决的。”
“好，问题来了，怎样变换表达式？”这时他看向了冯珊。
“这是0和1的布尔代数。”冯珊答道，她的眼睛里透出着迷的神色。
冯诺点点头，钱羽之和李加奈此前已经完全不知所云了，不过听到布尔代数，他们有点反应过来了。
冯诺只教过他俩最简单的布尔代数，以至于他们以为布尔代数就是0和1的布尔代数。
“然后呢？”冯诺继续引导。
“布尔代数是有补分配格！交运算是‘与’，并运算是‘或’，求补是‘非’，满足交换律、结合律、吸收律，‘与’和‘或’彼此满足分配律！0-1布尔代数还满足幂等律！”
这是布尔代数的理论部分，钱羽之和李加奈又糊涂了。
“很好。”冯诺表扬了一句。
“不过，”他又补充说，“格的基本运算律只是‘与’和‘或’两种运算之间的，包括交换律、结合律、吸收律、幂等律、分配律等等。在命题逻辑里，还要考虑‘非’的性质，这里我暂时只说两点：其一，双重否定律，很显然，命题的非命题的非命题，是其自身。其表达式的形式是——”
冯诺在黑板上写下：
┐┐A = A；
“其二，德……唉，就叫‘与或转换律’吧，两个命题的合取的非，是两个命题的非的析取；两个命题的析取的非，是两个命题的非的合取。其表达式的形式是——”
他又写下：
┐(A∧B)= ┐A∨┐B，
┐(A∨B)= ┐A∧┐B。
“我举两个例子你们就明白了，‘不是16岁以上的男人’，也就意味着是‘16岁以下的人’或‘女人’；‘不是原籍海南或福建的人’，也就意味着‘不是原籍海南的人’并且‘不是原籍福建的人’。”
然后他继续说道，“根据这些运算律，可以把逻辑命题的表达式变换成各种形式，不过，一般我们会变换成连续‘与’的‘或’，或者连续‘或’的‘与’，称为析取范式和合取范式。”
“好，有了理论工具，我们就能够发现，目前分类机在设计上存在局限性。如果分类机能够处理一般的析取范式或者合取范式，就不存在从设计上无法解决的问题了。——比如‘找出原籍福建或海南的人’。”
“这就要求我们的每个读卡单元，不是仅能判断一个简单命题的真假，而是能够判断多个简单命题构成的合取项或者析取项的真假。反映在分类机设计上，就是把读卡单元目前仅包括1个工作继电器和1个控制继电器的简单电路，改造成包含多个继电器的开关电路。”
“羽之，你这段时间已经很熟悉电路了。你来组装一个有两个开关和一个灯泡的电路，要求‘只有2个开关都闭合，灯泡才亮’。”
冯诺指了指一旁的工作台。工作台上有一大堆导线、继电器、灯泡和开关，台下放着两个笨重的钟式电池，万用表和其他几种仪器则被丢在工作台的角落里。
钱羽之熟练地来到工作台前忙活起来，他首先从电池的正负极引出了导线，然后把灯泡连入电路，灯泡亮了。接着，他把两个开关用导线连起来，又和灯泡、电池连在了一起。
冯诺让三名学生都去试一下，是不是只有2个开关都闭合时，灯泡才亮，如果有任意1个开关是断开的，灯泡就熄灭。
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