附录二

选自F. 魏兹曼

维特根斯坦于1929年12月到1931年12月间谈话与对话的速记手稿

命题的样式和系统

(选自1929年12月25日F. 魏兹曼的笔记)

我曾说过：“命题就像实在的模型。只有刻度标记的最外层触及被测量的对象。”现在，我更愿意表达为：命题的系统像是实在的模型。我的意思是：当我提出一个时空对象的模型时，我同时应用所有有刻度标记。不是被应用的单个刻度标记，它是全部的刻度。如果我知道对象达到了第十个刻度记号，我也就知道了它达不到第十一个，第十二个，等等。这些断定正在告诉我对象的长度形成系统，命题的系统。它是用来与实在相比较的完整的系统，不是单一的命题。例如，如果我表达视觉域中如此这般的一个点是蓝色的，我不仅知道它是蓝色的，我也知道这个点不是绿色的，不是红色的，不是黄色的，等等。我同时应用了全部的颜色度。这也是一个点不能同时有不同颜色的原因；fx为真，x不仅有一个值存在句法规则的原因。因为，如果我应用命题系统于实体，其本身就已表明——如同时空中的情况一样——在每种情况下，仅有一个事态能够获得，而不能是几个。

在我致力于我的书上时，我还没有意识到这一点并且认为每个推论依赖于重言式的形式。我没有看到推论也能成为形式：一个人6英尺高，因此，他没有7英尺高。这与我的信念密切相关，即基本命题必定彼此独立：从一个事态得到的事实，你不能推论出其他的不能。但是，如果我的命题系统当前的概念是正确的，那么，从一个事态获得的事实中，我们可以推论出所有其他被命题系统没有获得而得到描述，这甚至是一个规律。

一致性

[F. 魏兹曼1930年12月17日在纽瓦尔德格(Neuwaldegg)的笔记。维特根斯坦语，除非另有说明]

我一直在读希尔伯特有关一致性的著作。让我感到震惊的是整个问题被错误地提出了。我想要问：数学存在一致性吗？我要问这些人：注意，你们想要做什么？你们真的认为数学中隐藏着悖论吗？

公理有两个方面的重要意义，如弗雷格看到的。

1)规则，根据你玩的游戏。

2)该游戏的开放状态。

如果你把公理放在第二位，我就能够把无意义归于它们是不一致的主张。这么说会显得非常古怪：这个结构(举例来说，在希尔伯特的公式游戏0≠0中)是矛盾的。并且如果我确实称某些结构或其他的东西矛盾，没有重要的意义，至少对作为游戏的游戏。如果我设置一些规则，以至于这个结构不会产生，那么，我所做的是构造另一个不同的游戏。但是这个游戏就是一个游戏，并且我不能够着手理解任何人应用把这样的重要性归于这个结构的出现我：它们表现得就像这个特别的东西是禁忌。那么我就要问：如果这个结构确实出现了，引起兴奋的是什么？

如果这些公理被当作根据这个游戏被玩的规则，形式就会完全不同。这些规则——在某种意义上——是说明。它们表明：你可以做这个，或这样做，但不是那个。两个规则可以不一致。举例来说，假设象棋中有一个规则：在如此情况下，相关的这个部分必须被涉及。但是另一个规则说：马可以从来不动。如果现在这个相关部分碰巧是马，该规则就相互矛盾：我不知道应该做什么。在这种情况下，我们做什么？没有比这更简单的了：我们引入新规则，这个冲突就被解决了。

那么，我的观点是：如果不一致性在数学游戏的规则中产生，修复它就成为世界上最简单的事。我们必须做的是在涉及这些规则相冲突的情况下设置新的规则，问题就解决了。

但是，这里我必须强调重要的一点。矛盾仅在它出现时才是矛盾。人们有这样的观点，可能一开始就有矛盾隐藏在公理中，没有人看到，就像肺结核一样：一个人没有怀疑任何事，并且有一天他死了。人们也是这样思考这种情况：有一天，这个隐藏的矛盾可能会突然出现，并且这个灾难会降临在我们身上。

我要说的是：问这个起源是否不会最终导致矛盾根据没有意义，如果我没有发现它的方法。

在我能够玩游戏的时候，我能玩，并且一切都是正常的。

问题的真相是运算作为运算是正确的。无论如何讨论矛盾都是没有任何意义的。当我们为解决运算问题并且用枯燥无味的话说：“因此，所有的数都有这个属性，但是17这个数字没有属性。”我们称为矛盾的东西产生了。

运算中，这个矛盾根本不能被表达。

我能够根据某些确定的规则玩象棋。但是，我也能发明一种游戏，在其中不太关注规则本身。我游戏中的棋子现在是象棋的规则，并且这个游戏的规则假设是逻辑规律。在这种情况下，我还有另一个游戏并且没有超越游戏。希尔伯特所有的是数学并且不是数学。那是另一种计算，就像任何其他的一样。

(1930年12月28日，星期日，有施利克的家中。)

数学的一致性问题来源于两个方面的原因：(1)来源于非欧几何的观点，它是根据给定的反证法的范例证明平行公理的问题；(2)来源于布拉里富尔蒂和罗素主义的自相矛盾。

当前关注于同一性的动力主要来源于自相矛盾。鉴于此，它必须被表达为这些自相矛盾在数学中与同一性没有任何联系，被表达为在这里根本没有任何联系。因为这个自相矛盾没有在运算中出现，而是出现在日常语言中，主要由于我们模糊地使用语词。因此，解决悖论在于用准确的语词(根据表达语词的严格意义)取代模糊的语词。并且根据分析而不是根据证明，悖论消失了。

如果数学中的悖论是由于不明确产生的，我就永远不会根据证据清除这个不清晰。这个证据仅证明它证明的东西。但它不能清除烟雾。

它自身表明，不可以有这样的事物作为同一性证明(如果我们把数学中的不同一性当作集合论的不一致性作为相同种类看待)，这个证明不能为我们提供我们从它当中想要得到的东西。如果我对数学的本质不清楚，不会有证明能够帮助我。并且如果我对数学的本质有着清楚的认识，一致性问题根本不会产生。

罗素有这样一个观点，他的5个“原初命题”就成了两个基本的结构，并且有规则与其相应。但是，在这里他却处于某种假象当中，并且这在事实上产生了，他自己增加了更多的规则(口头上!)。

因此，我们必须识别：运算的基本结构(这个游戏的开放状态)，以及告诉我们如何从一个结构得出另一个结构的规则。这在弗雷格批判海涅和托梅的理论中解释得很清楚：“多奇怪。如果他问象棋规则是什么并且回答不是显示在棋盘上的一组棋子，人们会说什么？可能他在这里不会找到规则，因为它没有把任何意义归因于这些棋子和它们的布局”(基本规律，Ⅱ, p. 113)。

现在，如果我把运算当作运算，游戏中的这个地位不能表达悖论(除非我任意地称产生在游戏中的“悖论”一个地位，并且排除它；我正在做的一切，在那种情况下宣称我正在玩一个不同的游戏)。

不一致性观点——这是我正在坚持的东西——是悖论，并且这只能产生于真/假的游戏中，即仅在我们做出判断的地方。

这就是说：悖论仅可以出现于游戏规则中。例如，我能够有一个表达白棋必须跳过黑棋的表达规则。

如果黑棋在棋盘的边上，这个规则崩溃了。因此，这种情形可以产生于我不知道我想要做什么的地方。这个规则不再告诉我任何事。在这种情形下我要做什么？没有比去掉不同一性更简单的了：我必须做出判断，即引入另一个规则。通过允许和禁止，我一直可以做的只是定义游戏，不是这个游戏。希尔伯特通过他的证明试图要表明的是算术公理有游戏的属性，并且那是可能的。看起来希尔伯特更乐于证明悖论是不可接受的。

顺便说一句，假设这些规则中的两个彼此矛盾。我的记忆力不好，从没有注意到这一点，但是经常忘记这两个规则中的一个，或者一个一个替换。即使在这种情形下，我还是要说一切都很正常。这些规则是如何玩游戏的说明，并且如果我能够玩，它们必定是好的。它们只是在我注意到它们不一致的时候不再正确了，并且它唯一的标志是我不能再应用它们了。因为两个规则的逻辑积是矛盾，并且这个矛盾不再告诉我做什么。因此，这个冲突只在我注意到它时才产生。在我能够玩的时候，没有问题。

算术中也是一样，我们通过，例如%问题，获得“棋盘的边界”。(如果我说%=1，那么我就能够证明3=5，并且因此开始与游戏的其他规则冲突。)

那么，如果我们把这个运算当作运算，一致性问题就根本不会产生严肃的问题。并且因此，一致性也许与这个运算的应用相关联？带着这个问题，我们必须问我们自己：

应用运算意味着什么？

它可以意味着两件不同的事。

1)我们以这样一种方式应用该运算作为提供给语言的语法。因为，根据规则被允许或被禁止的东西在语法上要与语词“意义”和“缺少意义”相符合。例如：欧氏几何根据我们描述的时空对象解释句法规则系统。“通过两个点，可以画出一条直线”意味着：根据两点决定一条直线的主张有意义，无论它是否碰巧为真或为假。

句法规则在游戏中与这个状态相符合。(句法规则能够彼此矛盾吗？)句法不能被证明合理。

2)运算可以被应用，以至于真和假的命题与这个运算的结构相符。那么这个运算产生描述某种事物的理论。

牛顿的三个规律与这些几何有着完全不同的意义。它们有自己的证明——根据物理学上的经验。但是没有这样的东西作为游戏的合理性证明。这非常重要。你也可以用这种方式解释几何，根据把它当作实际测量的描述。现在，我们面前有许多主张，并且这些主张确实不一致。

这个理论是否能够描述事物，有赖于公理的逻辑积是否矛盾。要么我即刻就能在情形清楚时看到它们构成矛盾，要么就不理解？那么当前就有隐藏的矛盾。例如：欧几里得的公理系统与这个公理“三角形内角和为181°”。这里我不能直接看到这个矛盾，因为我不能直接看出合为180°得自这个公理系统。

只要我们置身于计算中，我们就不会有任何的矛盾。因为s=180°，s=181°根据不存在彼此矛盾。我们只能做两个不同的规定。我们能说的是：该运算能够用于任何它能够运用的事物上。确实，即使在这里，应用可能仍然是可以想象的。例如，以这样一种方式，根据一个方法的衡量，三角形的内角和达到180°，并且根据另一个方法达到181°。这只是一个找到范围的问题，这个范围的描述需要根据公理拥有多样性。

鉴于此，如果矛盾出现在理论中的这一点上，就意味着这个理论问题不能被转换成有关检流计指针偏离的陈述，等等。例如，它可能出现为该指针仍然是偏离的，并且因此这个理论不能被验证。

与几何上的方程不同，麦克斯韦的方程不提供运算，它们是碎片，运算的一部分。

数学必须是“安全”的，这是什么意思？如果数学不安全会发生什么？它是否就是表达这些公理是一致的某类主张？

人们能够寻找到矛盾吗？只有在有寻找方法时。可能没有这样的问题，我们是否根据与该规则一致的进行，就会遇到矛盾。我认为这是关键点，任何事物依赖于一致性问题。

魏兹曼问：但是，问自己有关公理系统的问题没有意义吗？例如，我们考虑一下罗素从5个公理中得出的命题运算。伯奈斯已经表明这些公理中的一个是多余的，并且只有4个可行。他继续表明这些公理形成了个“完整的系统”，即增加不能从这4个公理中得出的另一个公理，使得它可能从任意一个你写下的命题得出。这量得自归结果为与表达每个命题得自一个矛盾的事物一样。鉴于此，那不是对罗素运算的实际洞察吗？或者，在另一种情况下，我选择3个公理。我不能从那些与我能够从全部5个公理中得出的一样的命题集合。这不是实际的洞察吗？并且因此，你不能看一看一致性的证据与承认真实的事物一样吗？

维特根斯坦：如果我首先把3个命题，然后是5个命题，我根本不能比较因果关系集合，除非我在两组都出现的情况下形成一个新的系统。

因此，它不是像我有两个系统——在其中的一个里有3个公理，并且另一个有5个公理——在我面前并且现在是从外面对它们进行比较。我只能比较，例如整数和有理数直到我把它们置入一个系统中。并且我也得不到重要的领悟；我做的是再次构造一个运算。并且在这个运算中，命题“这一个集合比另一个包含得更多”根本没有出现：那是伴随该运算的无聊议论。

人们是否能问：我什么时候应用的这个运算？不知道我是否应用过这个运算对我来说是可能的，并且要等到我有了同一性证明？

(12月30日，星期二，在施立克的房中)魏兹曼读完弗雷格的基本规律§117和§118

维特根斯坦评论道：如果有人幼稚地看它，主要让他担心的问题是数学家始终害怕的只有一件事，对他来说是一种恶梦——矛盾。根据命题是重言式的可能性，它们根本不需要担心，即使矛盾确实不比重言式更糟糕。逻辑上，矛盾恰好与重言式有着相同的意义，并且我也可以根据矛盾研究逻辑。当然，矛盾与重言式无所言说，它们仅是阐明命题间逻辑相关性的方法。

它总是：“矛盾的规律[Satz]”。事实上，我认为矛盾的恐惧被束缚在它作为命题[Satz]的解释中：～(p·～p)。毫无困难地把矛盾规律解释为：我禁止p·～p的逻辑积这个结构。但是～(p·～p) 不表达这个禁令。它怎么样？这个矛盾根本不表达任何东西，只是这个规则表达某些东西。

魏兹曼重复他的问题道：你说，根据禁止和允许，我始终能够只决定一个游戏，但是决不是这个游戏。但是这对吗？例如，想象这种情况，我允许玩象棋时任何移动并且决不禁止任何事——这还是游戏吗？那么，游戏的这些规则对它们来说不是必须仍有某些属性来定义游戏吗？那么我们不能把一致性解释的需要作为一个排除“同义反复的”游戏——这个游戏在任何事物中是可允许的？这就是说，如果这个公式“0≠0”可以根据合法证明得出，并且如果加上希尔伯特，我们增加了这个公理“0≠0→”，在这里代表着任意的公式，那么我们能够从这个推理模式中得到公式，并且也可以把它写下来。但是，这意味着在这种情况下，任意公式都能够得出来，并且因此，这个游戏失去它的特性以及它的兴趣。

维特根斯坦：决不是!这里有一个错误，即在“这个游戏规则”和“游戏中的地位”之间的困惑。它就是这样：这个游戏是同义反复的，如果这个游戏的这些规则是同义反复的(即如果它们不再禁止或允许任何事)；但是这不是这里的情形。这个游戏也有它自己的具体的规则：它是诸多游戏中的一个，并且“0≠0”这个结构产生自它不在这里，也不在那里。它只是产生于这个游戏中的结构，并且如果我排除它，那么我面前就有一个不同的游戏。它不是这种情形，在第一个实例中，我没有游戏在面前，但是在第二种情况下，我有。一组规则以及禁止边界与另一个禁止集合相邻，但是游戏并不与非游戏相邻。这个“同义反复的”游戏必须作为游戏有限情况产生，作为它们自然的界限。诸多游戏的系统必须从其内部界定，并且这个界限只存在于这样的事实中，这个游戏的诸规则消失了。根据我自己设置的特定的规则和禁止，我不能达到这个界限；因为那只在许多游戏中给了我又一个游戏。因此，如果我说“0≠0”这个结构被允许，我要再次确定规则，定义游戏；只是从我排除这个结构的地方的一个不同的结构。

这就是说：根据我从不能定义这个游戏的规则，始终只是游戏。

魏兹曼问：有象棋理论，不是吗？因此，我们确实能够使用这个理论帮助我们获得有关这个游戏的可能性的信息——例如，是否在特定的情况下，我能够8步内将死，以及类似的。有鉴于此，如果有象棋这个游戏的理论，那么我就不明白，不应该有算术游戏理论的原因，以及为我们不应该应用这个理论的命题于获得实际的有关这个游戏的可能性的信息的原因。这个理论是希尔伯特的数学。

维特根斯坦：我们知道的“象棋理论”不是描述事物的理论，它是一种几何。当然，它是运算并且不是理论。

为了把这个搞清楚，我问你，是否在你看来在下列两个命题间有不同：“我能够8步内将死对方”以及“根据这个理论，我已经证明我能够在8步内将死对方”？不!因为如果在这个理论中，我使用象征手法代替棋盘和一副棋子，我能在8步内将死的证明事实上是我在符号中进行的，并且因此，是根据棋盘上的棋子做的。在我移动棋子时以及在我证明它们的可能性时——那么我就确实再次做了在证明上相同的事。我用符号做了移动，就是这样。唯一错过的事事实上是实际的移动；当然，我们同意移动小木块通过棋盘是无关紧要的。

我在这个游戏中做的证明，确切地似乎是我要表达：你，魏兹曼先生做个总结，但是我要预测你的结果的数学，那么我只为我的部分做总结，或许不同的记号(或即使是相同的，我做不同的解释)。我现在可以再次完成这个总结的结果；我不能根据完全不同的路线达到相同的结果。它不像你是个计算器，并且我承认你在理论扩展上的计算结果。并且恰好相同的情况包含在“象棋理论”的事实中。

并且因此，如果我在如此这般的可能性存在的建立这个“理论”，我再次在这个游戏中移动棋子，不是在超游戏中。运算中的每一步都符合游戏中的移动，并且全部的不同只存在于木块的物理移动中。此外，我不能分辨研究这些木块它们是否是兵、象、车等等。我不能说：那是一个兵并且如此这般的规则适用于这个部分。不，它只是定义这个部分规则：兵是它移动(小方格也是一个部分)规则的概括，就像是在语言情形下一样，这些规则定义语词的逻辑。

魏兹曼提出反对意义：好，我完全理解。但迄今为止，我们只是处理了这个理论表达如此这般的状态是可能的情况。但是，要是这个理论证明某种状态的不可能性——例如，四个车在直线上彼此相邻时会怎么样？并且这就是希尔伯特处理的那类事实。在这种情况下，这个理论只是不能重现这个游戏。运算中的步骤不再与游戏中的移动相符合。

维特根斯坦：当然，它们不相符。但是，甚至在这种情况下，它也必须出现这个理论是运算，是一个不同于这个游戏的不同的东西。这里，我们面前有一个新的运算，有着不同多样性的运算。

在第一个实例中：如果我证明，我不能如此这般地做，我不证明命题，我给出归纳。

我也能理解棋盘上的这个归纳。我要在根据它意味的东西时解释。我证明的是，无论我玩多久，我都不能到达具体的状态。像这样的证明仅能根据归纳做出。它现在对我们来说是主要的，有关根据归纳，证明的本质是清楚的，对我们来说是基本的。

数学中，有两种证明。

证明具体公式的证明。这个公式出现在其自身作为其最后一步的证明中。

根据归纳证明。这里最为惊人的事实是被证明的命题其自身根本没有出现在证明中。这就是说，归纳不是导致命题的过程。相反，归纳向我们表明无限的可能性，并且根据归纳证明的本质存在于其自身。

我们随后表达根据归纳的这个证明向我们显示为命题，以及用“全部”这个语词这样做。但是这个命题给这个证明增加了一些东西，或者更确切地说：这个命题处于与记号用来指派的东西一样的证明地位。这个命题是归纳的名称。它代理归纳，可它又不是得自它。

你也可以提出在棋盘本身的明显的归纳，例如，根据无表达的我可以走到那再回来，如此等等。但是这个归纳不再符合游戏中的移动。

因此，如果我在如此这般的命题不能出现的“理论”中证明，那么我就被给予一个归纳，表明某种东西，但不是什么都不表达。因此，表达“如此这般是不可能的”在“理论”中根本也不是命题。

鉴于此，这就说，在实际的游戏和这个归纳之间一定仍然有一些关联。并且确实有这样的关联——它存在于这样的事实中，一旦我被给予根据归纳的证明，我就不再试图确立在游戏中的这个态度。以前我本应努力做却没有做的事，最终不得不放弃。现在，我不再尝试了。这与我在根据有无限多质数或是无理数的归纳时恰巧一样。这些证明的影响在真实的算术实践上仅是人们不再寻找“最大的质数”，或者不再寻找等于的小数。但是，这里我们必须要比这个更为精确。人们以前寻找过吗？他们做的肯定有某种类似于探寻的东西，但却是完全不同的类型；他们做了某些事，期待着作为结果的某些事也会出现。可这根本不是探寻，不是我查以寻找的摇摆于我耳际的方法。我能做的是移动我的眉毛，我的前额以及我身体的这样的地方，以期我的耳朵也运动。但是我不知道它们是否会，并且因此，我不能找到使它们运动的方法。

系统内，我区分一个数为质数，我甚至不能问质数是什么。当你应用这个实词的形式给它时，问题产生了。并且如果你发现了这个归纳，也是与计算中的数不同的东西。

归纳法与代数(用字母计算)公式相符——因为归纳间的内在关系与公式间的内在关系一样。用字母计算的系统是新的计算；但它不是与普通的数字计算相关，就像元计算与计算之间一样。带有字母的计算不是理论。这是关键的一点。象棋“理论”——当它研究某种情形的不可能性时——像是代数与数字计算的关系。以相同的方式，希尔伯特的“元数学”必须从其数学的伪装中显示其自身。

希尔伯特的证明(1922)

“但是，如果我们的形式主义提供完整的早期理论的替换，实际上由推理和语句构成，那么实际的矛盾一定发现它的形式等式”， a=b和a≠b永远不会成为同时得到证明的公式。

希尔伯特在简单模式中所做的同一性阐明事实上的结果是归纳的：这个证明显示出，根据归纳，记号必须继续无休止地出现的可能性→。

这个证明让我们明白某种东西。但是它表明的不能根据命题得到表达。并且因此，我们也不能说“这些公理是同一致的”。(比你能说的有无限多的质数更多些。这很无聊。)

我认为给同一性证明仅意味着一件事：研究这些规则。对我来说没有其他事可做。想象一下，我给某人列了一个长长的去市区的待办单。这个单子太长了，也许我忘记了一个待办事项并且给出另一个代替，或者我把不同人的待办事项放在一起了。我做什么会让我自己确信这些待办事项能够被完成？我不得不用光这个清单。但是，我不能“证明”任何事。(我们一定不会忘记我们在这里处理游戏规则，并且不是它的结构。在几何的情况下，当我研究这些公理时，我没注意到这个矛盾，这也是完全可以想象的。)如果我说：我要核查这个逻辑积是否是矛盾的，这就出现了相同的事。以矛盾的形式把它写下来只是使这个问题更明白些。如果你现在选择称它为“证明”，你就会乐于接受这样做：即使它只是使它更容易核查的方法。但是必须被表达为：即使这样的证明本身也不能保证我不忽略某些东西。

没有计算能够做核查做的事。

但是，假设我通过这个游戏的规则系统的探求呢？我在系统内工作的时候，我又有了计算；那么同一性问题再次产生了。并且因此事实上对我来说没有什么可做，除了一个接一个的检查规则。

如果计算的结果是0≠0意味着什么？我们不会处理一种修正的算术是显然的，但是，和完全不同种类的算术一道，与基数运算没有一点儿相似之处。那么，我们就不能说：在这种情形下，它仍然与我们的算术一致(非欧几何与欧氏几何做的一样——公理的这个修正没有这样极端的含义)；不，根本不会有一丝类似的痕迹。我是否能够应用这样的运算是另一回事。

此外，这里还有许多困难。在第一种情况下，有一件事对我来说是清楚的：a=b确实仅表达了对a来说b的可替换性。并且因此，这个等式是记号的规则，这个游戏的规则。那么，它如何能够成为公理，即这个游戏中的地位？从这个角度来看，公式如0≠0是完全不可理解的。因为它事实上意味着：你不能以0替换0——那么我应该观察是否其中一个0有另一个没有的更为丰富的内容？到底这个禁止性规定意味什么？它似乎与我表达a = a是相同种类。无论如何它被写下多少次，它也是无意义的。教师们非常正确地教育他们的孩子们2+2=4，而不是2=2。孩子们在学校里学习加法的方法已经非常好，并且没有理由希望它更为严谨。事实上，从这个公式从没有被应用的事实中，就可以看出a=a无所意味。

如果，当我在做运算时，我得出0≠0这个公式，你认为作为结果出现的这个运算会失去所有的利益吗？

施利克：是的，数学家会说这样的事对他来说没有兴趣。

维特根斯坦：但是，请原谅!非常有趣的是，恰好是它出局了!在运算中，我们一直对结果有兴趣。多奇怪!它出现在这里——并且也出现在其他地方!谁会想到它？那么，如果它是出现的矛盾会多有趣!确实，即使在这个阶段，我预测时，会有包含矛盾的微积分的数学研究，并且人们实际上会对它们不受同一性约束而感到高兴。

但是，假设我要应用这一运算呢？如果我还没有证明没有矛盾，我会心神不安地应用它吗？但是，我如何能够问这样的问题？如果我能应用运算，我应用它就是了；没有随后的修正。我能做什么，我就做什么。我不能不做这个应用，说：严格说来它不是个应用。

在应用运算之前，我必须要等待同一性证明吗？人们所做的所有的运算迄今为止实际上——在永恒的方面——靠运气？在它将被证明为不合逻辑的时候会到来，这是可以想象的吗？我不知道我在做什么吗？事实上，它等于希望证明某个命题不是无意义的。

因此，这个问题是这样：我有命题系列，例如，p，q，r……并且支配运算的规则系列，例如，“·”，“∨”，“～”，并且有人问：如果你应用这些涉及到运算的规则于该给定的命题，你能够达到无意义吗？如果根据“无意义”，我的意思是重言式或矛盾式，这个问题会被证明合理。那么，我就必须使得这些规则以这样的一种方式形成陈述，这些形式没有出现。

(1931年1月1日，在施力克家)

在同一性问题产生中，人们证明其合理了吗？这里奇怪的事是我们正在寻找某东西并且我们正在寻找的实际上是什么我们不知道。例如，当我不能着手想象它会包含的矛盾是什么时，我可以问是否欧氏几何是同一的？其中存在的矛盾可能会是什么呢？这个问题在我们研究这样的问题之前必须回答。

有一件事是清楚的：如果它是矛盾的，我只能理解矛盾。因此，我提出这种情况，其中我有命题系列，我们假设p，q，r……，并且形成它们的逻辑积。我现在就能核实这个逻辑积是否是矛盾的。这是全部同一性问题能够达到的？这需要用五分钟去解决。确实，在这个意义上，没人能够怀疑这个欧氏公理是同一的。

But what else could the question mean Perhaps: if we go on drawing inferences sooner or later we willarrive at a contradiction To that we must say: Have we a method for discovering the contradiction If not, thenthere isn't a question here at all. For we cannot search to infinity.

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WAISMANN: Perhapswe can still imagine something-namely the schema for indirect proof. By analogy,we transfer that to an axiom system. We must distinguish two things: a problem which can be formulated withinmathematics, which therefore also already possesses a method of solution; and the idea whichprecedes and guides the construction of mathematics. Mathematicians do in fact have such guiding ideas even in thecase of Fermat's Last Theorem. I'm inclined to think that the question of consistency belongs to this complex ofpre-mathematical questioning.

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WITTGENSTEIN: What's meant by analogy E.g. analogy with indirect proof Here it's like the trisection ofan angle. I can't look for a way to trisect an angle. What really happens when a mathematician concerns himself withthis question Two things are possible: (1) He imagines the angle divided into 3 parts (a drawing); (2) He thinks ofthe construction for dividing an angle into 2 parts, into 4 parts. And this is where the mistake occurs: people think,since we can talk of dividing into 2, into 4 parts, we can also talk of dividing into 3 parts, just as we can count 2, 3 and 4 apples. But trisection-if there were such a thing-would in fact belong to a completely different category, acompletely different system, from bisection, quadrisection. In the system in which I talk of dividing into 2 and 4 parts I can't talk of dividing into 3 parts. These are completely different logical structures. I can't group dividing into2, 3, 4 parts together since they are completely different forms. You can't count forms as though they were actualthings. You can't bring them under one concept.

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It's like waggling your ears. The mathematician naturally lets himself be led by associations, by certainanalogies with the previous system. I'm certainly not saying: if anyone concerns himself with Fermat's LastTheorem, that's wrong or illegitimate. Not at all! If, for instance, I have a method for looking for whole numberssatisfying the equation x2 + y2 = z2, the formula xn + yn = zn can intrigue me. I can allow myself to be intrigued by aformula. And so I shall say: there's a fascination here but not a question. Mathematical ‘problems⨀ always fascinatelike this. This kind of fascination is in no way the preparation of a calculus.

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WAISMANN: But what then is the significance of the proof of the consistency of non-Euclidean geometry Let's think of the simplest case, that we give a model, say, of two-dimensional Riemanniangeometry on a sphere. We then have a translation: every concept (theorem) of the one geometry corresponds to aconcept (theorem) of the other. If now the theorems in the one case were to include a contradiction, thiscontradiction would also have to be detectable in the other geometry. And so we may say: the Riemannian axiomsystem is consistent provided the Euclidean one is. We have then demonstrated consistency relative to Euclideangeometry.

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维特根斯坦：一致性“和欧几里得几何比较起来”完全是无意义的。这里发生的是：规则与另一个规则相符(游戏中的结构与游戏中的结构)。我们有一个映射。完全停下来!无论被谈及的是什么都是枯燥无味的话。人们说：因此这个系统是一致的。但是没有“因此”，不会比归纳情况下多。这就再一次与被误解的证明相关联，原本它不存在的东西被读了出来。证明就是证明。位于另一组旁边的一组规则其内在关系类似于另一组规则的立场。这就是证明表明的，并且没有其他。

关于独立性：假设我们有5个公理。我们现在做一个研究，这些公理中的一个能够从其他四个中得出，并且因此是多余的。我现在问：这样的发现有什么意义？我认为这里的情形确实如它在沙弗发现的情形一样，我们可以根据一个逻辑常项得出。

首先，我们要梳理一下：这个公理定义——被用作运算进展的规则——一组命题。这些命题的范围也不是在其他方式给予我们的，而只是根据这5个公理。因此，我们不能问：这个相同的范围也被4个公理定义吗？因为这个范围从这5个公理中不能够得出。那5个公理和从它们中得到的无论什么——可以说——是我的全部世界。我不能置身于这个世界之外。

现在有关这个问题：这5个公理独立吗？我会回答：有什么方法解决这个问题吗？在这里又会有不同情形的问题产生。

1)没有这样的方法。那么这种情形就如我描述的那样：我所拥有的全部是这5个公理以及展开规则。在那种情形下，我不能寻找到是否这些公理中的一个也许会作为其他的结果而出现。并且因此，我根本不能提出这个独立的问题。

2)但是，现在我们假设这些公理中的一个确实作为证明的结果出现，那么我们根据没有证明仅这4个公理是充足的，有一个是多余的。不，我没能通过逻辑推理得出这个认识，我必须理解它，就像沙弗理解他能够通过一个逻辑常项得到一样。我必须在我正在使用的系统中以及在我完成这个证明中理解这个新系统。

它涉及理解，而不是证明的问题。没有那样的命题与我理解的一致——这个系统的可能性。没有被主张的事，并且因此没有任何我能够证明的东西。因此，如果在这种情况下，我在4个公理发挥作用的地方给出5个公理，我只负有忽视的责任。因为我当然一开始就应该知道这5个公理中的一个是多余的，并且尽管如此我还是把它写了下来，这只是犯了一个错误。当然，在这种情况下只是建立公理是不够的，我们还必须证明它们实际上是独立的。

有鉴于此，希尔伯特似乎在几何情况下采纳了后一种途径。然而，重要的是这里有一点不够清楚：这个模型的使用是一个方法吗？我能够系统地寻找模型，或者我是否必须依赖巧妙的事故？如果我不能找到适合的模型怎么办？

概括：公理系统是否独立的问题依赖于如果有决定这个问题的方法才有意义。否则，我们根本不能提出这个问题。并且如果，例如，有人发现一个公理是多余的，那么他没有证明命题，他在理解新系统时加入了旧的系统。

并且，与同一性一样。

希尔伯特的公理I.1和I.2：“任意两个不同的点A， B决定一条直线a”，“任意两个在一条直线上的点决定了那条直线。”

我已经不知道这些公理要如何被理解，它们的逻辑形式是什么。

F.魏兹曼：你当然可以根据表达把它们写作真值函项，例如，“对于所有的x，如果x是一个点，那么……”，然而，我认为我们在这种方式中错过了公理的真正意义。我们不必一个接一个地引入这些点。对我来说根据坐标引入这些点，线，面看起来更为正确。

维特根斯坦：这也是我的观点。但是有一件事我不理解：说这些公理形成矛盾意味着什么？占在它们的立场上看，它们不会产生矛盾，除非我根据规则确定它们的逻辑和是矛盾。这就是，这里的矛盾情形就如同这些命题是不相融的：“这个块斑是绿色的”并且“这个斑块是红色的”。站在它们的立场，这些命题根本不是互相矛盾的。它们只在我们一旦引入更为进一步的句法规则禁止把这两个命题都当作真的时候才是矛盾的。仅在这时矛盾产生了。(参见上文“三角形的内角和 = 180°”这个例子。)

(1931年9月)

F. 魏兹曼问：(你先前说过)计算中根本没有矛盾。我不明白，它如何与间接证明相融，因为这个证明确切地依赖计算中产生的矛盾。

维特根斯坦：我的意思与间接证明毫无关系。这里有个困惑。在计算中当然有矛盾；我的意思是：谈论隐藏的矛盾毫无意义。隐藏的矛盾会是什么呢？例如，我可以说：357，567被7整除被除藏的，就是说，只要我没有应用这个标准——假设除法规则。为了把整除从隐藏变成公开，我只需要应用这个标准。那么，这像是有矛盾吗？显然不是。因为我不能根据应用标准把矛盾带到日光下。现在，我说：那么所有这些隐藏矛盾的讨论都是无意义的，并且有关数学危险的讨论纯粹是想象。

现在，你可能会问：但是，如果有一天建立矛盾存在或不存在的方法被发现会怎样呢？这个命题很奇怪。它使得你像是能够研究有关假设的数学，即一种方法被发现的假设。现在，假如我可以问在这间屋内红头发男人是否已经被找到，并且这个问题完全有意义，因为我可以描述这个男人，即便他不在那里。然而，我不能在确立矛盾方法之后问，因为我只能描述它(这个方法)，一旦它在那里。如果它还没有被发现，我不能够描述它，并且我说的是空洞的语词。因此，我甚至不能着手问如果方法被发现会发生什么这样的问题。

阐明矛盾方法的情形恰似哥德巴赫猜想：正在进行的是随意尝试构造一个运算。如果这个尝试成功了，我面前就又有了一个运算，只是不同于我过去一直用的那个。但是我仍然没有证明运算是运算，根本没有什么被证明。

如果有人要通过说他发现在直线上的有理数点之间有更多的点来描述无理数的引入，我们会回答：“当然，你在原有的点之间还没有发现新的点：你编制了新的点。因此，在你面前有新的运算。”这就是当希尔伯特认为数是一致的为其发现时，我必须要对他说的。事实上是希尔伯特没有建立起什么，他把它留下了。当希尔伯特说：0≠0没有作为证明的公式而出现时，他根据允许和禁止定义运算。

F.魏兹曼问：但是你认为矛盾不能出现在运算本身中，仅存在于规则中。这个结构不能表达矛盾。它现在仍然是你的观点吗？

维特根斯坦：我会说规则也组织运算，只是不同的运算。对我们来说关键的理解我们根据矛盾这个术语意味的是什么。因为如果你根据它意味着一件事，并且我意味着另一件事，我们就不能达成任何一致。

“矛盾”这个词从我们一直使用的第一种情形中看，即从真值函项的意义上来看，并且意味着表达，p·～p。因此，在第一种情况下，我们仅能讨论涉及断定的地方的矛盾。因为这个运算公式不是断定，因此也就不能在运算中存在矛盾。但是，当然你可以规定这个运算的特定结构，例如，0≠0会被称为矛盾。只有这样，始终在你逻辑思考中存在着矛盾的危险以及因此搞乱“矛盾”和“禁止”。因为如果我称运算中具体的记号结构为矛盾，那么，它仅意味着这个结构的形式被禁止：如果证明中，你偶然发现这样的公式，有些关于它的东西必须被做，例如，开放的公式必须被排除。

为了避免这个混乱，我应该提出，在有语词“矛盾”的地方，我们使用一个完全新的记号，它与我们希望我们明确建立的东西没有关联：我们假设这个记号S。在运算中，不要把任何东西当成理所应当的。如果这个公式S出现，到现在为止，根本没有意义。我们首先做进一步的规定。

F.魏兹曼说算术中的等式有两重意义：它是一个结构，并且它是一个规定的规则。鉴于此，如果算术中或分析中公式0≠0的证明被发现会怎么样？那么算术就会被赋予完全不同的意义，因为我们不会再有资格把等式解释为替换规则。“你不能把0替换为0”，当然也就不意味着任何事。希尔伯特的追随者可能会说：你看一致性证明真的成功了。即，这个证明试图向我们表明，我们赋予解释等式以替换规则的资格。

维特根斯坦：当然，那是它不能意味的事。首先：我们可以把等式解释为替换规则如何发生？很简单，因为“替换”这个语词的语法与等式的语法相同。这就是在替换规则与等式之间自开始就类似的原因。(例如，二者都是可传递的。)想象一下，我要向你表达“你不能用a替换a”。你会怎么做？

F.魏兹曼：我不知道思考什么，因为这个主张与语词“替换”的语法不相融。

维特根斯坦：好，你不会知道思考什么，并且这非常正确，因为事实上在你面前有一个你不熟悉的新的运算。如果我现在通过给予的语法规则和应用向你解释运算，那么你也会理解这个主张“你不能以a代替a”。在你停留在原来运算的立场时，你不会理解这个主张。鉴于此，如果假设0≠0这个公式得不到证明，这只意味着我们面前有两个不同的运算：一个运算是动词“替换”的语法，另一个存在于0≠0得不到证明中。那么这两个运算存在彼此相伴。

如果有人现在想要问是否证明语词“替换”的语法与等式的语法一样是不可能的，即等式能够被解释为替换规则，我们应该不得不回答：这里不能成为证明的问题。因为这个主张应该如何被证明？毕竟，我应用这个运算只意味着我建立了规则，告诉我当这个或那个出现在运算中时要做什么。那么我应该证明我建立起来的规则吗？我是否应用运算可以有的规则才是唯一有意义的问题。我曾写道：这个运算不是数学概念。

F.魏兹曼：你曾说过，没有矛盾会出现在运算中。例如，如果我们把欧氏几何的公理加入更为进一步的公理：“三角形的内角和是181°。”甚至它也不会产生矛盾。因为这些角的和有两个值当然是可能的，就像一样。现在，如果你把它看成两个值，我就不再理解间接证明得出的东西了。因为间接证明恰巧依赖这样的事实，矛盾来源于计算。现在如果我把一个公理当作假设，根据间接证明已经驳斥，那么会发生什么？这个公理系统因此扩展了当前的矛盾吗？例如：在欧氏几何中被证明，你仅能够从一点到一条直线放置一条垂直线，间接证明呢？假设有两条垂直线，那么它们就会形成有两个等角的三角形，它们的和会比180°大，与这个众所周知的三角形的内角和定理相矛盾。如果我现在把这个命题“有两条垂填线”作为给欧氏几何的公理增加的公理——我没有得到矛盾吗？

维特根斯坦：根本不是。什么是间接证明？操作符号。但是那确实什么都不是。更进一步的规则也进来了，告诉我当间接证明被执行时要做什么。(例如，这个规则可能这样起作用：如果间接证明被执行売，从这个证明过程的全部假设不可以被驱逐。)这里没有什么被想当然。任何事都必须被阐明。必定与这样的事实相联：我们不能脱离语词“矛盾”等等在日常语言中意味的东西。

如果我现在规定这个公理“从一个点到一条直线可以画出两条垂线”，间接证明的记号图像当然包含在运算中。但是我们不这么使用它。

那么，如果我规定这样的一个公理会发生什么？“我会在不知道如何继续的地方达到一个点。”很好，你不知道如何继续，因为在你面前有一个你不熟悉的新运算。需要做出更进一步的规定。

F.魏兹曼：但是你始终可以那样做，当间接证明在普通计算中给出时。你可以根据支配间接证明转换规则应用保留被驳斥的命题，那么，这个命题就不能再被驳斥。

维特根斯坦：当然，我们可以这样做。那么我们就毁坏了间接证明的特征，并且间接证明剩下的仅是记号图像。

(1931年12月)

魏兹曼确切地阐明一致性的问题。

同一性问题的重要意义如下：我如何知道我通过超限的方法证明的命题不能根据有限数字运算驳倒？例如，如果数学家发现主要使用超限方法的费马最后公理——表达选择的公理，或者形式上排中律：或者哥德巴赫猜想适用所有数，或者有一个它不适用的数——我如何知道这样的公理不能被反例驳倒？它绝不是自明的。并且数学家们在推理的超限模式上投入这么多人信任，一旦证明被知晓，没有人会再次试图发现反例。问题产生了：这个信任可以得到证明吗？

就是说，我们确信被超限方法证明的命题永远不能根据具体的数字运算驳倒？这是数学的同一性问题。

我会同时表明根据普通代数中产生的类似问题，讨论的问题会倾向于我。当我根据用字母的计算证明公理时，我如何知道它不能根据数字实例驳倒？例如，假设我证明了1+2+3+…+n=[n(n+1)]/2——我如何知道这个公式能够经得起数字运算的测试？这里我们恰好陷入相同的情形。我认为我们必须这样说：使用字母的运算以及使用数字的运算导致相同结果的原因，即用字计算的原因能够被应用于具体的数字，存在于这样的事实中，字母运算的公理——加法的交换律、结合律等等，是从开始被选择出来的，以便允许这样运用。它与这样的事实相关，我们按照明确的方法选择公理。这就是公理与归纳相符，并且这个符合是可能的，因为这个公式与这个归纳有相同的多样性，因此我们能够将这个归纳系统投身于公式系统之上。并且这样做没有问题，我们根本不能提出是否带有字母的计算能够产生与数字运算的矛盾这个问题。但是，这个分析怎么样？这里确实看起来像是一个问题。

维特根斯坦：首先我们讨论的实际上是什么？如果根据“相信”意味着配置，我会说那对我没有兴趣。这必定与数学家的心理有关。并且因此可能是根据“相信”意味的其他事。那么它仅能够成为用符号写下来的东西。我们必须要问的似乎是两个运算符合的原因。我们举一个非常简单的例子说明：

2+(3+4)=2+7=9

(2+3)+4=5+4=9

在这里，我完成了两个独立的运算，并且在两种情况下得出相同的结果。“独立”在这里意味着：一个计算不是另一个的复制。我有两个不同的过程。

并且，如果它们不一致怎么办？那么关于它我就没有什么可以做的。这个符号就有着不同的语法。加法的交换律、结合律适用语法的基础。但是在群论中，它不再是AB=BA的情形；并且因此，例如，我们不能以两种方式运算，并且我们仍然有运算。

事物就是这样存在的：当计算是正确的时候，我必定在先前已经规定了的。这就是说，我必须阐明在什么情形下，我会假设公式是被证明了的。现在，如果公式被证明在一种方法的基础上这种情况产生，但是被另一个的基础驳倒，那么那就绝不会暗含着我们在这里有矛盾，并且是完全失去；相反，我们可以说：这个公式仅意味着不同的东西。它属于两个不同的计算。在一种计算中它被证明，在另一种情况下被驳斥。并且因此，我们确实有两个不同的公式在面前，它们只在偶然的情况下有共同的记号。

混乱的全部系列围绕同一性问题产生了。

首先，我们不得不问，这个矛盾应该在哪里产生：在规则中还是在游戏的配置中。

什么规则？例如，如果我说“做这个并且不做这个”，另一个不知道它的意思是什么；这就是我们不允许矛盾当作规则的原因。我们只是不把矛盾称作规则——或者更为简单一点，语词“规则”的语法是这样，矛盾不被指派为规则。现在，如果矛盾出现在我的规则中，我可以说：这些不是规则，在我说规则的一般意义上。我们在这种情况下做什么？没有比这更简单的了：我们给出一个新规则，并且问题得到了解决。

这里的一个例子会是棋盘游戏。假设有一个规则表达“黑色必须跳过白色”。现在，如果这个白色的部分在棋盘的边缘，这个规则就不再能够被应用。那么我们就只把新的规则来规范这种情况，并且在这种情况下，这个困难就在地球上消失了。

但是，这里我们必须更为精确。我们这里有个矛盾(即在规则“白色棋子必须跳过黑色棋子”和“你不可以在棋盘边缘跳过棋子”之间)。我现在问：我们一开始就拥有发现矛盾的方法吗？这里有两种可能性。

1)棋盘游戏中，这个可能性无疑是当下的。因为这个规则这样运行：“一般说……”如果这意味着“这个命题中以及处于这个状态……”那么我显然恰好有这个可能性在发现矛盾的开端——并且如果我没有看到它，那是我的错。也许我太懒了以至没有在所有情况下试着使用它，或者我忘记了一种情形。在这种情况下，根本没有严肃的问题。一旦矛盾产生了，我只做一个新的规则，并且把它(矛盾)移除。我们始终能够在地球上抹去这个矛盾。

但是，无论是否有矛盾，始终能够根据观察规则表解决。例如，这就是欧氏几何情形下5分钟问题。欧氏几何的规则彼此不矛盾，即没有任何规则的出现会取消先前的规则(p和～p)，并且我很满意这一点。

2)现在，我们来看看第二种情形，我们没有这样的方法。我的规则清单因此是井然有序的。我看不到任何矛盾。我现在问：现在是否仍然有危险？这已经超出了问的范围。我们应该害怕什么？矛盾？但是矛盾只和发现它的方法一同被给予我。只要矛盾还没有产生，我就不关心它。因此我可以非常快乐地继续运算。数学家们经过几个世纪所做的运算突然结束了，因为数学中发现了矛盾？我们可以说它们不是运算吗？当然不能。如果矛盾确实产生，我们会处理它。但是我们不需要担心它。

人们实际上追求的是完全不同的东西。某一确定的范式徘徊在他们的脑海中，并且他们把这个运算与这个范式一道带入直线中。