第一节十九世纪中叶的中国数学

西方数学的传播

鸦片战争以后，中国数学出现了新的发展态势，一方面，西方传教士借五口通商的便利，在传教的同时，扩大西方数学的传入；另一方面，清朝统治集团内部的一些洋务派人士注意支持中国的科学事业，包括中国传统数学的发展，以及西方数学典籍的翻译。李善兰是这一时期最重要的中国数学家。他既精于中国古代的传统数学，又能吸收西方的一些数学观念加以糅和，代表了那一时代中国数学的最高水平。

1843年，英国人麦都思（W.H.Medhurst，1796—1857）在上海设立墨海书馆，印刷《圣经》等传教需用的材料。1847年8月26日，受英国伦敦会的派遣，伟烈亚力来到上海主持墨海书馆的出版事务。伟烈亚力主持馆务之余，借他在伦敦自学的一点汉语知识，研读中国的天文数学典籍，并涉猎西方科学著作的汉译工作。他自称：“余自西土远来中国，以传耶稣之道为本，余则兼习艺能。”①他和李善兰合作翻译的《几何原本》后9卷，以及第一本介绍微积分的译作《代微积拾级》分别在1857年和1859年出版，成为继利玛窦和徐光启翻译《几何原本》前6卷之后向中国传播西方数学的又一重要事件。

进入十八世纪六十年代之后，英国人傅兰雅、美国长老会牧师狄考文

（C.W.Mateer，1836—1908）也参与翻译西方数学著作，影响很广。

另一方面，清政府中的洋务派主张学习西方技术，特别注意对数学的支持。经过一番激烈的争论，同治帝接受恭亲王奕䜣的奏请，于1862年在同文馆设立天文算学馆。1865年，曾国藩、李鸿章奏准在上海设立江南制造局。1868年起，在其内设翻译馆，有关代数学、三角学、概率论等一大批西方数学著作被译成中文。政府官员中也有一些人专攻数学，如江苏巡抚徐有壬，与同时代的数学家李善兰等多有来往，自己亦有著作多种；江西的吴嘉善曾为翰林院编修，尝与徐有壬共同研究数学；湖南天算家丁取忠曾在1860年应胡林翼之请到武昌作幕宾，晚年和他的弟子左潜（左宗棠的从子），曾纪鸿（曾国藩的次子）在长沙白芙堂研究数学。

1866年，曾国藩“邮致三百金”到南京资助李善兰出版《则古昔斋算学》

24卷，这部著作代表了当时中国传统数学的最高水平。

然而，尽管有传教士和洋务派人士对数学的支持，中国数学前进的步伐

仍然十分缓慢。

传统数学的终结

在腐朽的清皇朝统治下，一部分比较开明的知识分子抛弃了对功名富贵的追求，以研究数学排遣忧闷，另一部分则追随洋务派以研究数学而图强。同时，也因多少受到外来数学思想方法的影响，十九世纪中期的中国传统数学出现了一个小的高潮，仅以函数的幂级数展开而论，从1845至1865的20年间，就有项名达、戴煦、李善兰、徐有壬、顾观光、邹伯奇、夏鸾翔等先

①陈彦衡：《旧剧丛谈》。

后发表研究成果。李善兰的数学研究范围更广，在组合恒等式上的研究至今仍被国际数学界称道。

戴煦（1805—1860），浙江钱塘（杭州）人。其兄戴熙官为兵部右侍郎，但他淡于功名，绝意仕进，终生以研治数学为乐。他先与项名达为忘年交，校注古代算学著作，1845至1852年间，完成数学著作4种9卷，总名为《求表捷术》。其内容涉及对数造表方法、三角函数造表法、三角函数对数造表法。对数表的制作，若按《数理精蕴》的办法，“布算极繁，甚至经旬累月而不能求一数”①。他的工作是找到二项式，对数函数，三角函数的对数函数等一系列的函数幂级数展开式，成为造表的有力工具。在微积分未传入我国的当时，戴煦的工作是相当艰难而深入的。1845年，英国教士艾约瑟（J.Edkins，1823—1905）慕名求见，戴煦以“中外殊俗异礼”托故辞之。1860年，太平军攻克杭州，戴煦随其兄戴熙自尽。

徐有壬（1800—1862），浙江湖州人，历任云南按察司，湖南布政司，以至江苏巡抚。自幼对数学有浓厚兴趣，结交许多当时数学名家，著有《务民义斋算学》，在三角函数和反三角函数的幂级数展开式上有些新见解，自称其为“缀术”。1860年，太平军攻克苏州时被杀。顾观光（1799—1862），江苏金山人，以医生为业，兼通天文算学。身后汇刻有《武陵山人遗书》，在对数表制作，《周髀算经》校注上有所贡献。邹伯奇（1819—1869），广东南海人，对几何光学颇有研究，同时在函数表制作、计算尺的使用上做过探讨。夏鸾翔（1823—1864），浙江杭州人，与戴煦为世交。1963年游广州，与邹伯奇共研数学，主要工作为三角函数表的制作，以及圆锥曲线的综合研究。湖南的丁取忠（生卒年不详）著有《数学拾遗》，对一次同余式求解有所阐述。晚年在长沙古荷花池的白芙草堂，与左潜（？—1874）、曾纪鸿（1848—1877）治数学。他们也研究幂级数的展开，曾纪鸿用反三角函数的幂级数展开式求得圆周率的第24位准确数字。

在晚清数学家中，李善兰无疑是最杰出的一人。李善兰的主要数学成就有：尖锥术、垛积术、素数论。在西方的微积分未传入的情况下，李善兰独自用尖锥术发现幂函数的定积分公式、二次平方根的幂级数展开式，以及各种三角函数、反三角函数的幂级数展开式。他所使用的求对数的方法，比传教士带进来的方法要高明、简捷。一般认为，在李善兰的尖锥术的基础上，中国传统数学完全可以走上解析几何、微积分的近代数学的道路。

李善兰集前人之大成，在垛积术上有重大突破，其内容属于今之“组合

数学”。他创造了三角自乘垛和乘方垛两类新的垛积，其中的组合公式

n

(

+p

p

2

)

=

p

=

0

q

p()(q

n

22

pp

q

)

被今人称为李善兰恒等式。晚清中国数学结果中具有一定世界意义的，恐仅此一端。

李善兰在素数论方面，证明了许多结果，其中包括法国数学家费马

（P.Fermat，1601—1665）在1640年得出的一条素数定理：

若ad-1能被素数N整除，则N-1能被d整除。李善兰和伟烈亚力等合作翻译过大量西方科学典籍，成为近代中国科学的先驱和传播者。1868年，他应召到北京，在同文馆担任数学教席，官至三

①王杨宗：《伟烈亚力》，载《中国古代数学家传记》（下册），科学出版社1993年版。

-(cid:229)品，但他淡于利禄，潜心于数学教学和研究。李善兰之后，中国传统数学再也没有出现有较大价值的成就。

大量翻译西方数学典籍

伟烈亚力经营的上海墨海书馆首先大量翻译西方的科学典籍。1852年，李善兰和伟烈亚力相识，两人通力合作，先后译出《几何原本》后9卷（1858年），《代数学》（1859年），《代微积拾级》（1859年）等数学著作。《代微积拾级》是中国第一部微积分译作，影响巨大，其中使用的微分、积分、函数、级数、曲率等名词均始自此书，沿用至今。李善兰在翻译时用了一些西方数学的符号，但大量使用中文字母和自创的符号，读来十分困难。

第二次大量翻译科学典籍是在1865年曾国藩、李鸿章奏准设立的江南制造局。主持数学典籍翻译的是华蘅芳（1833—1902）。他是江苏无锡人，爱好数学，1861年到安庆曾国藩军中佐理洋务，然后到上海，在江南制造局供职。他除参加地学等书籍翻译之外，主要和英人傅兰雅合译数学著作。十余年间译书以下6种：《代数术》（1872年）、《微积溯源》（1872年）、《三角数理》（1877年）、《代数难题解法》（1879年）、《决疑数学》（1880年）、《合数术》（1887年）。其中《决疑数学》是我国第一本有关概率论的数学译作。与李善兰的译作相比，华蘅芳翻译的著作内容较为丰富，语言更为流畅，但使用的符号仍未有大的变化。

中日数学实力的逆转

在十八世纪七十年代以前，日本数学一直在向中国学习。日本翻译和传播西方数学的时间也比中国稍晚。1859年，李善兰和伟烈亚力翻译的《代微积拾级》很快东渡日本。“18世纪60年代，日本和算家能读到的最好微积分书籍只有Loomis的《微积分》中译本（即《代微积拾级》）”①。

现在日本使用的数学名词有许多是从中国传去的，如微分、积分、函数、有理数、无理数、方程式等等，中日所用完全一样，其来源是《几何原本》、《代微积拾级》等中国译本相继传入日本。

但自1868年明治维新之后，日本曾有“废止和算，专用洋算”的指令性要求。1872年的学制令等文件，明文规定：“算术以洋法为主。”日本在重视工业发展的同时，重视基础科学包括数学的发展。1877年，菊池大麓自英国学习数学后归国，进入文部省改革科学教育。日本数学会在1877年成立，1877年东京大学成立理学部，其中有数学教授。1898年，高木贞治到德国向世界大数学家希尔伯特（D.Hilbert1862—1943）研习代数数论，日后解决了著名的类域论问题，为世界一流数学家。反观中国，自容闳1872年组织幼童出国留学，主要学习“军政，船政，步算，制造诸学”。十九世纪多批留学生中，竟无一人专习数学。洋务派提倡学习数学，响应者寥寥。同文馆的天文算学馆，学生中无人能超过李善兰。数学之落后，自是意料中事。1894年甲午战争之后，中国数学已明显落后于日本，李善兰时代的数学优势丧失殆尽。1898年之后，中国向日本大举派遣留学生，其中包括派人学习数学。

①戴煦：《求表捷术》。