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- 第八十八章数学
第一节贾宪三角
贾宪是北宋时期的杰出数学家。关于他的生平，现在仅知，他是当时著名数学家和天文学家楚衍的弟子，曾以寄禄官左班殿直至司天监（后改太史局）任等官职，撰有《黄帝九章算法细草》9卷、《算法古集》2卷，但都已失传。据有人研究，贾宪《黄帝九章算法细草》约写于天圣元年（1023）至皇祐二年（1050）之间①。从南宋数学家杨辉《详解九章算法》所附《九章算法纂类》（1261）记载的该书部分内容可知，其中提出了著名的“开方作法本源”图以及立成释锁开平方法、立成释锁开立方法和增乘开方法等。
①《册府元龟》卷869。②《旧五代史》卷4。③《新五代史》卷30。④《宋史》卷481。①钱宝琮主编：《中国数学史》，科学出版社1964年版，第145页。
图1开方作法本源图
开方作法本源图（图1）①，是一个由数字构成的三角形数表，现称“贾宪三角”，因见于杨辉著作，故亦曾称“杨辉三角”，实际上即指数为正整数的二项式定理系数表。杨辉曾明确指出：这个图系“出释锁算书，贾宪用此术。”图下五句说明文字的意思是说图中各行数字为开方过程中的各项系数以及具体的开方方法。元代数学家朱世杰《四元玉鉴》记载的“古法七乘方图”（图2），又在贾宪三角中增添了许多连线，更进一步表示出二项式（x＋a）n展开式各项系数之间的关系。贾宪三角是数学史上的重大发现，它在数学的许多领域都有极其重要的应用。15世纪中亚数学家阿尔·卡西（Al—Kāshī）也曾给出二项式定理系数表，此后，这张图表又被德国数学家阿皮安努斯（P.Apianus，1527），施蒂费尔（M.Stifel，1544），意大利数学家塔尔塔利亚（N.Tartaglia，1556）和法国数学家帕斯卡（E.Pascal，1654）等
图2古法七乘方图讨论过，并被西方数学家称为“帕斯卡三角”，但这些数学家都比11世纪的贾宪晚很多年才获得这一成果。
杨辉《九章算法纂类》还载有贾宪立成释锁开平方法和开立方法。“立成”是唐以后天文学家对推算各种数据时所用数表的通称，“释锁”在宋元数学家著作中则指开方和解数字方程。因此，贾宪的立成释锁法应是利用一种数表来解决开平方、开立方乃至开高次方问题的方法，而这种数表很可能就是他提出的开方作法本源图。但据《九章算法纂类》所载，其演算步骤则与《九章算术》少广章开平方术和开立方术基本相同。