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- 第八十八章数学
第六节纵横图
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纵横图，亦称幻方，是把从1到n2的自然数排列成纵横各有n个数，并且使同行、同列及同一对角线上n个数的和都相等的一种方阵。纵横图是中国古代数学中由来已久的比较特殊的内容之一。《数术记遗》载有“九宫算”，甄鸾注称：“九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”这实际上是一个三行纵横图，各行、各列及两条对角线上的数字之和都等于15。“九宫图”，后世通称“洛书”，其起源当早于汉代，同时它也是世界上现在已知最早的纵横图。南宋杨辉在《续古摘奇算法》中列出了n＝3，4，5，…，10行的各种纵横图，如十行纵横图称为“百子图”等，并对一些纵横图的构造方法进行了研究。如洛书数的构造方法是“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”等。此外，他还记录了聚五图、聚六图、聚八图、攒九图、八阵图、连环图等圆形或环形的新型数字组合图，这些都可说是纵横图的进一步演变和发展①。丁易东《大衍索隐》也收有与杨辉攒九图和连环图相似的图。明清时期一些数学家如程大位、王文素、方中通、张潮、保其寿等对纵横图进行深入研究，取得了更加丰富多彩的结果。过去，②顾观光：《九数存古》卷5。③《梦溪笔谈》卷18。①参见李俨：《中算家的纵横图研究》，见李俨《中算史论丛》第一集，科学出版社1955年版。
纵横图大多是作为开动脑筋启发智力的一种数学游戏，而现在则已成为组合数学的重要内容，在程序设计、图论、组合分析等方面得到了广泛的应用。