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- 第八十八章数学
第二节增乘开方法
贾宪的又一重要数学成就是根据开方作法本源图的构造原理创造了增乘开方法。用这种方法开平方和开立方要比《九章算术》少广章的方法简便得多，并且其运算原则可以推广到求任何高次幂和高次方程正实根的近似值。贾宪用此法解决了求x2＝A，x4＝A等的近似值问题。在宋代有不少数学家对解方程问题进行研究。如据杨辉《田亩比类乘除捷法》所载，刘益在《议古根源》（全书已佚，杨辉书收有其二十多个算题）中提出了“正负开方术”，所论方程系数可正可负，取消了以前对方程系数只允许为正整数的限制，并讨论了x2-ax＝A和-x2＋ax＝A（a＞0，A＞0）的数值解法，把方程论（包括增乘开方法）推进了重要的一步。但是总的说来这些工作属于初创，还不够完整和系统。
南宋数学家秦九韶创造性地继承和发展了前人的先进成就，提出了一套
完整的正负开方术程序，成功地将增乘开方法运用于求一般高次方程：
a0xn＋a1xn-1＋a2xn-2＋…an-1x＋an＝0（an＜O，a0≠0）
的数值解。他在《数书九章》中列举了二十多个解方程问题，次数最高达十次；除一般方法外，还讨论了“投胎”、“换骨”、“玲珑”、“同体连枝”
①见中华书局影印本《永乐大典》卷16344所收杨辉《详解（九章）算法》。
等特殊情形；并将其方法广泛应用于面积、体积、测量等方面的实际问题，从而在高次方程数值解法问题上，达到了当时世界数学的最高水平。
增乘开方法的特点是在演算过程中自下而上随乘随加，求出各项系数，进行方程变换，逐步求出方程正根的各位数字，其演算程序具有很强的机械性，可以毫无困难地转化为计算机程序。在西方，关于高次方程数值解法的探讨，经历了漫长的历史过程，直到1804年，意大利数学家鲁非尼（P.Ruffini）才创立了一种逐次近似法用以解决数字高次方程解的近似值问题，并为此获得了意大利科学协会颁发的金质奖章，而在1819年英国数学家霍纳（W.G.Horner）才提出与增乘开方法演算步骤基本一致的算法，后被称为“霍纳法”。但是，他们已经比秦九韶晚了五百多年，并且其原始方法也没有秦九韶法简捷明确。在现代一些计算数学著作中已将这种高次方程数值解法改称“秦九韶法”。