从1到10

农业的发展带来的一个副产品是数学的进步，尤其是早期几何学的出现，在此基础上又诞生了早期天文学。数学是所有科学的基础，而数学的基础则是计数。

计数和识数对于今天的人来说几乎是本能，但对远古的人类来说，几乎不可能。今天一个学龄前的孩子都知道5比3大，但是原始人没有数的概念，甚至不需要识数。著名物理学家伽莫夫（George Gamow，1904—1968）在他的《从一到无穷大》一书中讲了这样一个故事：两个酋长打赌，谁说的数字大谁就赢了。结果一个酋长说了3，另一个想了半天说：“你赢了。”因为在原始部落，物资贫乏，所以没有大数字的概念，通常超过3个就笼统地称为“许多”了，至于5和6哪个更多，对他们来说没有什么意义。

随着现代智人部族人数的增加，他们之间开始密切配合，因此，需要通过计数数清数量。由于没有数字，他们就必须借助工具，最直接的计数工具是人的10根手指。当数目超过10之后，可以再把脚趾用上，玛雅人就是这么做的。在历史上，其他部落应该也采用过这种方法。但是，当数量更大时，手指加脚趾已经不够用，就需要发明新的工具了，比如在兽骨上刻横道。在非洲南部的斯威士兰发现的40000多年前的列彭波骨（Lebombo bone），以及在刚果民主共和国发现的约20000年前的伊尚戈骨头（Ishango bone），上面都有很多整齐而深深的刻痕，它们被认为是最早的计数工具（见图2.1）。

▲图2.1 被用作计数的伊尚戈骨头

计数是一种带有本能特点的技术，而数字则是抽象的概念，两者中间需要一个巨大的跳跃。由于历史的发展是连续的，因此，它们之间一定存在一种或者多种中间状态，这些中间状态的计数方式被称为tally marks，翻译成中文就是“计数符号”，它们半直观、半抽象，如中国人统计数字时使用的画“正”字，欧洲的英语系国家（包括美国和澳大利亚等英语国家）使用的四竖杠加一横杠的1~5计数法，以及拉丁语系国家用的“口”字形1~5计数法，都属于“计数符号”（见图2.2）。

▲图2.2 英语系国家与拉丁语系国家使用的1~5计数符号

计数符号的问题在于记录大数字时需要重复画很多符号，比如用“正”字统计选举结果，候选人如果得了100票，就得画20个“正”字，这当然很不方便。比较简洁的方法是数字和进制相结合，就像我们今天使用十进制以及10个阿拉伯数字一样。抽象的数字和进制的发明是人类科学史上的第一次重大发明，它们折射出人类在科学上的两个重要成就。

第一，用抽象的符号代表一种含义，即一个特定的数量。当然，早期的数字依然不能完全脱离象形的特点，汉字中的一、二、三便是如此。图2.3是美索不达米亚早期的1~59的写法，1~9是一个类似蝌蚪的简单楔形的叠加，而10是另一种楔形。

古印度早期使用的数字1~9写法如图2.4中第二行所示，1~3和中国汉字数字一样就是一横、两横、三横，从4开始和汉字有了区别。

▲图2.3 美索不达米亚的数字1~59

▲图2.4 古印度的数字1~9

第二，无论是美索不达米亚、古代中国还是古代印度，在设计数字的写法时都使用了同一种技术——信息编码。这种技术今天在所有的信息技术产品中都有体现，甚至深入我们的生活中。我们在社交网络上的昵称、宠物的绰号，都是信息编码。信息编码的本质是将自然界中的实体和我们大脑中的一个概念或者符号对应起来。这种被抽象出的概念或者符号要被一个部落或者族群认可，才能成为他们之间信息传输的载体。

十进制的出现表明人类对乘法以及数量单位有了简单的认识。20000多年前的人只能将实物数量和刻度上的数量简单对应，但是有了进制之后，人们懂得了用大一位的数字（比如，10、20或者60）代替很多小的数字。当然，这种计数方式能准确表示真实数量的前提是需要懂得乘法，即2×10=20，或者3×60=180。

至于数字和进制是什么时候产生的，依然是个谜。我们能够看到的最早的数字以及相应的进制是6600年前美索不达米亚的六十进制和6100年前古埃及的十进制。对于美索不达米亚的六十进制，我们还需要多说两句，从图2.3中的59个数字可以看出，它实际上是十进制和六十进制的混合物。

十进制的出现是一件很容易理解的事情，因为我们人类长着10根手指，用十进制最为方便，于是有了10、100、1000……如果人类长了12根指头，我们今天用的可能就是十二进制了，对12、144（12的平方）、1728（12的立方）等数字就会比对10的整数次方更亲切。除了十进制，人类历史上其实出现过很多种进制，但是它们因为使用不方便，要么消失了，要么今天虽然存在却很少使用。比如玛雅文明就使用二十进制，显然是把手指和脚趾一起使用了，它实际上又把20分成了4组，每组5个数字，正好和四肢以及上面的指（趾）头对应。但是二十进制实在不方便，想一想，背乘法口诀表要从1×1一直背到19×19（共361个）是多么痛苦的事情，所以如果采用这种进制，数学是难以发展起来的。二十进制在很多文明中曾经和十进制混用，比如在英语里会使用score这个词衡量年代，它代表20，这在《圣经》中、林肯和马丁·路德·金等人的演讲中都可见到，但是在现实生活中，这种用法已经不见了。

既然二十进制已经很麻烦了，为什么美索不达米亚人还要采用六十进制呢？一般认为，当人类有了多余的物品需要清点时，便有了准确的计数。但是，数字和进制的产生还有另一个重要的原因——计算日期和时间。当农业开始之后，人类就要找到每年最合适的播种和收获时间。如果今年在春分前后播种，庄稼长势良好，大家会希望明年还在同一时期播种，那么就需要知道一年有多少天。由于一年是365天多一点，和它接近的整数是360，因此，把一个圆分为360度就是很合理的事情。当我们从地球上观测太阳和月亮，因为它们距地球的距离与实际直径之比非常接近，所以它们的张角（视直径）在我们眼中恰好相同，都是0.5度（正好为一度角的1/2），因此有利于天文观察和计算。当然，直接用360作为进制单位太大，更好的办法是用一个月的时间30天或者30天的两倍60天作为进制单位。为什么美索不达米亚人选了60而不是30，没有人知道，唯一比较合理的解释是，60是100以内约数最多的整数，它可以被1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30和60整除，便于平均分配。由于美索不达米亚采用了六十进制，我们学习几何时计量角度，或者学习物理时度量时间，都不得不采用它。

无论是东方还是西方，在衡量重量时都使用过十六进制，比如中国过去一斤是16两，英制一磅是16盎司，这是采用天平二分称重的结果（人类在发明秤之前先发明了天平），因为16正好是2的四次方。在英制中，价格也曾采用二分的方法，因为过去价格是用二分衡量贵重金属的重量。直到2000年前后，美国纽约证券交易所股票的报价依然采用一美元的1/2、1/4、1/8和1/16，极不方便。后来才采用纳斯达克的以美分为最小单位的报价方法。

有了数字和进制，就能用少量符号代表无限的数目。人类文明发展到这个阶段，就有了抽象概念的能力。在此基础上，算术乃至后来整个数学和自然科学开始建立。值得一提的是，在所有的计数系统中，最好的也是大家普遍采用的，是源于古印度的阿拉伯数字系统。其最大的优点是发明了数字“0”，于是个、十、百、千、万的进位变得非常容易。

在数字发明的同时，人类也开始用图画记录信息。1869年，考古学家在西班牙坎塔布利亚自治区的阿尔塔米拉洞窟中发现了17000年~11000年前的岩画，包括风景草图和大型动物画像，从一个侧面记录了当时人类的生活情况（见图2.5）。

▲图2.5 阿尔塔米拉洞窟岩画

当然，人类不可能把任何事情都用图画的方式记录，为了方便记录信息，图画被逐渐简化成象形的符号，这便是文字的雏形。简化的过程非常漫长，因为从形象思维到抽象思维不是件容易的事情。在文字的形成过程中，还出现过似画似字、非画非字的类文字，它们是从画到字的过渡，比如图2.6所显示的特尔特里亚泥板图章（Tartaria tablets）。

▲图2.6 7000多年前的特尔特里亚泥板图章

迄今为止发现最早的文字是由美索不达米亚的苏美尔人发明的，距今已有6000多年。各种文明的文字早期都是象形的，古埃及和古中国自不必说，即使被认为是拼音文字的美索不达米亚楔形文字，其实也是从象形文字演化而来。

▲图2.7示意了一些词的演化过程。第二列是最初的象形文字，从它们的形状可以猜出其含义。经过大约1000多年的简化，形成了更抽象的早期楔形文字（图中第三列）。如果不对照第二列，意思已经不大好猜了。又经过大约1000年，楔形文字完全形成，成了一种拼音文字，我们已经无从猜测它们的意思。在其他文明中，古埃及的文字后来也开始拼音化，但是象形文字和拼音文字共存了很长时间，因此它们同时出现在罗塞塔石碑中。世界上只有两种文字没有拼音化，它们就是我们熟知的汉字和远在美洲的玛雅文字。为什么文字要拼音化？从信息论的角度来说，这样表达信息更简洁，书写简单。虽然古人不懂信息论，却不自觉地在文明进程中运用了信息论的原理。

▲图2.7 楔形文字的过渡

美索不达米亚的楔形文字很快被当地的闪米特人学会，他们中间有一支非常善于远洋经商的族群——腓尼基人。腓尼基人将美索不达米亚的文字传播到地中海各岛屿。但是，在经商途中，商人们没有闲情逸致刻写精美漂亮的楔形文字，于是，他们对这种复杂的拼音文字进行了简化，只剩下几十个字母。后来，希腊人从腓尼基字母中总结出24个希腊字母，而罗马人又将它们变成22个拉丁字母。随着扩张，罗马征服了很多外国土地，吸纳了很多外国人，有些外国的人名和地名无法表示，于是罗马人在字母表中加入了x，代表所有那些无法表示的音和字，这既是英语里包含x的单词特别少的原因，也是后来人们用x表示未知数的原因。再后来，拉丁文里的i被拆成了i和j，v被拆成了u、v、w，最终形成了今天英语的26个字母。

有了数字和文字，人类传递信息就更方便了，也为发明准确传承知识的书写系统打下了基础。