志第三十 律历十
△观天历
元祐《观天历》
演纪上元甲子，距元祐七年壬申，岁积五百九十四万四千八百八算。（上考往古，每年减一；下验将来，每年加二。）
步气朔
统法：一万二千三十。
岁周：四百三十九万三千八百八十。
岁余：六万三千八十。
气策：一十五、余二千六百二十八、秒一十一。
朔实：三十五万五千二百五十三。
朔策：二十九、余六千三百八十三。
望策：一十四、余九千二百六、秒一十八。
弦策：七、余四千六百三、秒九。
岁闰：一十三万八百四十四。
中盈分：五千二百五十六、秒二十四。
朔虚分：五千六百四十七。
没限分：九千四百二。
闰限：三十四万四千三百四十九、秒一十二。
旬周：七十二万一千八百。
纪法：六十。
以上秒母同三十六。
推天正冬至：置距所求积年，以岁周乘之，为气积分；满旬周去之，不尽，以统法约之为大余，不满为小余。其大余命甲子，算外，即所求年天正冬至日辰及余。
求次气：置天正冬至大、小余，以气策及余秒累加之，（秒盈秒法从小余一，小余盈统法从大余一，大余盈纪法去之。）命甲子，算外，即各得次气日辰及余秒。
推天正经朔：置天正冬至气积分，以朔实去之，不尽为闰余；以减天正冬至气积分，余为天正十一月经朔加时积分；满旬周去之，不尽，以统法约之为大余，不满为小余。其大余命甲子，算外，即所求年天正十一月经朔日辰及余。
求弦望及次朔经日：置天正十一月经朔大、小余，以弦策累加之，去命如前，即各得弦、望及次朔经日及余秒。
求没日：置有没之气小余，以三百六十乘之，其秒进一位，从之，用减岁周，余满岁余除之为日，不满为余。其日，命其气初日日辰，算外，即为其气没日日辰。（凡气小余在没限以上者，为有没之气。）
求灭日：置有灭之朔小余，以三十乘之，满朔虚分除之为日，不满为余。其日命其月经朔初日日辰，算外，即为其月灭日日辰。（凡经朔小余不满朔虚分者，为有灭之朔。）
步发敛
候策：五、余八百七十六、秒四。
卦策：六、余一千五十一、秒一十二。
土王策：三、余五百二十五、秒二十四。
月闰：一万九百三、秒二十四。
辰法：二千五。
半辰法：一千二半。
刻法：一千三百三。
秒母：三十六。
推七十二候：各因中节大、小余命之，为初候；以候策加之，为次候；又加之，为末候。
求六十四卦：各因中气大、小余命之，为初卦用事日；以卦策加之，为中卦用事日；又加之，得终卦用事日。以土王策加诸侯内卦，得十有二节之初外卦用事日；又加之，得大夫卦用事日；复以卦策加之，得卿卦用事日。
推五行用事：各因四立之节大、小余命之，即春木、夏火、秋金、冬水首用事日；以土王策减四季中气大、小余，命甲子，算外，为其月土始用事日。
求中气去经朔：置天正冬至闰余，以月闰累加之，满统法约之为日，不尽为余，即各得每月中气去经朔日及余秒。（其闰余满闰限者，为月内有闰也；仍定其朔内无中气者为闰月。）
求卦候去经朔：以卦、候策累加减中气，去经朔日及余，（中气前，减；中气后，加。）即各得卦、候去经朔日及余秒。
求发敛加时：倍所求小余，以辰法除之为辰数，不满，五因之，满刻法为刻，不满为余。其辰数命子正，算外，即各得所求加时辰、刻及分。
步日躔
周天分：四百三十九万四千三十四、秒五十七。
周天度：三百六十五、余三千八十四、秒五十七。
岁差：一百五十四、秒五十七。
二至限日：一百八十二、余七千四百八十。
冬至后盈初夏至后缩末限日：八十八、余一万九百五十八。
夏至后缩初冬至后盈末限日：九十三、余八千五百五十二。
求每日盈缩分：置入二至后全日，各在初限已下为初限；已上，用减二至限，余为末限。列初、末限日及分于上，倍初、末限日及约分于下，相减相乘。求盈缩分者，在盈初、缩末，以三千二百九十四除之。在盈末、缩初，以三千六百五十九除之，皆为度，不满，退除为分秒。求朏朒积者，各退二位，在盈初缩末，以三百六十六而一；在盈末缩初，以四百七而一，各得所求。以盈缩相减，余为升降分；（盈初缩末为升，缩初盈末为降。）以朏朒积相减，余为损益率。（在初为益，在末为损。）
求经朔弦望入盈缩限：置天正闰日及余，减缩末限日及余，为天正十一月经朔入缩末限日及余；以弦策累加之，满盈缩限日去之，即各得弦望及次朔入盈缩限日及余秒。
求经朔弦望朏朒定数：各置所入盈缩限日小余，以其日下损益率乘之，如统法而一，所得，损益其下朏朒积为定数。
求定气：冬夏二至以常气为定气。自后，以其气限日下盈缩分盈加缩减常气约余，即为所求之气定日及分秒。
赤道宿度
斗：二十六 牛：八 女：十二 虚：十少（秒六十四）
危：十七 室：十六 壁：九
北方七宿九十八度少、秒六十四。
奎：十六 娄：十二 胃：十四 昴：十一
毕：十七 觜：一 参：十
西方七宿八十一度。
井：三十三 鬼：三 柳：十五 星：七
张：十八 翼：十八 轸：十七
南方七宿一百一十一度。
角：十二 亢：九 氐：十五。 房：五
心：五 尾：十八 箕：十一
东方七宿七十五度。
前皆赤道宿度，与古不同。自《大衍历》依浑仪测为定，用纮带天中，仪极攸凭，以格黄道。
推天正冬至加时赤道日度：以岁差乘所求积年，满周天分去之，不尽，用减周天分，余以统法除之为度，不满为余。命起赤道虚宿四度外去之，至不满宿，即为所求年天正冬至加时赤道日度及余秒。
求夏至赤道日度：置天正冬至加时赤道日度，以二至限及余加之，满赤道宿次去之，即得夏至加时赤道日度及余秒。（因求后昏后夜半赤道日度者，以二至小余减统法，余以加二至赤道日度之余，即二至初日昏后夜半赤道日度，以每日累加一度，去命如前，各得所求。）
求二十八宿赤道积度：置二至加时日躔赤道全度，以二至加时赤道日度及约分减之，余为距后度。以赤道宿次累加之，即得二十八宿赤道积度及分秒。
求二十八宿赤道积度入初末限：各置赤道积度及分秒，满象限九十一度三十一分、秒九即去之，若在四十五度六十五分、秒五十四半已下为初限；已上，用减象限，余为末限。
求二十八宿黄道度：各置赤道宿入初、末限度及分，三之，为限分。用减四百，余以限分乘之，一万二千而一为度，命曰黄赤道差。至后以减、分后以加赤道宿积度，为黄道积度；以前宿黄道积度减之，余为二十八宿黄道度及分。（其分就近约为太、半、少，若二至之宿不足减者，即加二至限，然后减之，余依术算。）
黄道宿度
斗：二十三半 牛：七半 女：十一半 虚：十少（秒六十四。）
危：十七太 室：十七少 壁：九太
北方七宿九十七度半、秒六十四。
奎：十七太 娄：十二太 胃：十四半 昴：十一太
毕：十六 觜：一 参：九少
西方七宿八十二度。
井：三十 鬼：二太 柳：十四少 星：七
张：十八太 翼：十九半 轸：十八太
南方七宿一百一十一度。
角：十三 亢：九半 氐：十五半 房：五
心：四太 尾：十七 箕：十
东方七宿七十四度太。
前黄道宿度，乃依今历岁差变定。若上考往古，下验将来，当据岁差，每移一度，依历推变，然后可步七曜，知其所在。
求天正冬至加时黄道日度：置天正冬至加时赤道日度及约分，三之，为限分；用减四百，余以限分乘之，一万二千而一为度，命曰黄赤道差；用减天正冬至加时赤道日度及分，即为所求年天正冬至加时黄道日度及分。（夏至日度，准此求之。）
求二至初日晨前夜半黄道日度：置一万分，以其日升降分升加降减之，以乘二至小余，如统法而一，所得，以减二至加时黄道日度，余为二至初日晨前夜半黄道日度及分。
求每日晨前夜半黄道日度：置二至初日晨前夜半黄道日度及分，每日加一度，百约其日下升降分，升加降减之，满黄道宿次去之，即各得二至后每日晨前夜半黄道日度及分。
求太阳过宫日时刻：置黄道过宫宿度，以其日晨前夜半黄道宿度及分减之，余以统法乘之，如其太阳行分而一，为加时小余；如发敛求之，即得太阳过宫日、时、刻及分。
黄道过宫（太史局吴泽等补治有此一段，开封进士吴时举、国学进士程憙、常州百姓张文进本并无之。）
危宿十五度少，入卫之分，亥。 奎宿三度半，入鲁之分，戌。
胃宿五度半，入赵之分，酉。 毕宿十度半，入晋之分，申。
井宿十二度，入秦之分，未。 柳宿七度半，入周之分，午。
张宿十七度少，入楚之分，巳。 轸宿十二度，入郑之分，辰。
氐宿三度少，入宋之分，卯。 尾宿八度，入燕之分，寅。
斗宿九度，入吴之分，丑。 女宿六度少，入齐之分，子。
步月离
转周分：三十三万一千四百八十二、秒三百八十九。
转周日：二十七、余六千六百七十二、秒三百八十九。
朔差日：一、余一万一千七百四十、秒九千六百一十一。
弦策：七、余四千六百三、秒二千五百。
望策：一十四、余九千二百六、秒五千。
以上秒母同一万。
七日：初数一万六百九十，初约八十九；末数一千三百四十，末约一十一。
十四日：初数九千三百五十一，初约七十八；末数二千六百七十九，末约二十二。
二十一日：初数八千一十一，初约六十七；末数四千一十九，末约三十三。
二十八日：初数六千六百七十二，初约五十五。
上弦：九十一度三十一分、秒四十一。
望：一百八十二度六十二分、秒八十二。
下弦：二百七十三度九十四分、秒二十三。
平行：一十三度三十六分、秒八十七半。
以上秒母同一百。
求天正十一月经朔加时入转：置天正十一月经朔加时积分，以转周分秒去之，不尽，以统法约之为日，不满为余。命日，算外，即得所求年天正十一月经朔加时入转日及余秒。（若以朔差日及余秒加之，满转周日及余秒去之，即次朔加时入转日及余秒。各以其月经朔小余减之，余为其月经朔夜半入转。）
求弦望入转：因天正十一月经朔加时入转日及余秒，以弦策累加之，去命如前，即得弦、望入转日及余秒。求朔弦望入转朏朒定数：置入转余，乘其日算外损益率，如统法而一，所得，以损益其下朏朒积为定数。其在四七日下余如初数已下，初率乘之，初数而一，以损益其下朏朒积为定数。若初数已上者，以初数减之，余乘末率，末数而一，用减初率，余加其日下朏朒积为定数。（其十四日下余若在初数已上者，初数减之，余乘末率，末数而一，便为朏定数。）
求朔弦望定日、各以入限、入转朏朒定数，朏减朒加经朔、弦、望小余，满若不足，进退大余，命甲子，算外。各得定日及余。若定朔干名与后朔干名同者月大，不同者月小，其月内无中气者为闰月。（凡注历，观定朔小余，秋分后在统法四分之三已上者，进一日；若春分后定朔晨昏差如春分之日者，三约之，用减四分之三；定朔小余在此数已上者，亦进一日；或当交亏初在日入已前者，其朔不进。弦、望定小余不满日出分者，退一日；望若有交，亏初在日出分已前者，其定望小余虽满日出分，亦退一日。又有月行九道迟疾，历有三大二小者；依盈缩累增损之，则有四大三小，理数然也。若俯循常仪，当察加时早晚，随其所近而进退之，使不过三大二小。）
求定朔弦望加时日度：置定朔、弦、望约分，副之，以乘其日升降分，一万约之，所得，升加降减其副，以加其日夜半日度，命如前，各得定朔、弦、望加时日躔黄道宿度及分秒。
求月行九道：凡合朔初交，冬入阴历，夏入阳历，月行青道。（冬至、夏至后，青道半交在春分之宿，出黄道东；立冬、立夏后，青道半交在立春之宿，出黄道东南：至所冲之宿亦如之。）冬入阳历，夏入阴历，月行白道。（冬至、夏至后，白道半交在秋分之宿，出黄道西；立冬、立夏后，白道半交在立秋之宿，出黄道西北；至所冲之宿亦如之。）春入阳历，秋入阴历，月行朱道。（春分、秋分后，朱道半交在夏至之宿，出黄道南；立夏、立秋后，朱道半交在立夏之宿，出黄道西南：至所冲之宿亦如之。）春入阴历，秋入阳历，月行黑道。（春分、秋分后，黑道半交在冬至之宿，出黄道北；立春、立秋后，黑道半交在立冬之宿，出黄道东北：至所冲之宿亦如之。）四序离为八节，至阴阳之所交，皆与黄道相会，故月行有九道。各视月行所入正交积度，满交象去之，（入交积度及交象度，并在交会术中。）若在半交象已下为初限；已上，覆减交象，余为末限。置初、末限度及分，三之，为限分；用减四百，余以限分乘之，二万四千而一为度，命曰月道与黄道差数。距正交后、半交前，以差数加；距半交后、正交前，以差数减。（此加减出入黄道六度，单与黄道相校之数，若校赤道，则随气迁变不常。）仍计去冬、夏二至已来度数，乘差数，如九十而一，为月道与赤道差数。（凡日以赤道内为阴，外为阳；月以黄道内为阴，外为阳。故月行宿度，入春分交后行阴历，秋分交后行阳历，皆为同名；入春分交后行阳历，秋分交后行阴历，皆为异名。）其在同名者，以差数加者加之，减者减之；其在异名者，以差数加者减之，减者加之。二差皆增益黄道宿积度，为九道宿积度；以前宿九道积度减之，为其宿九道度及分秒。（其分就近约之为太、半、少。）
求月行九道平交入气：各以其月闰日及余，加经朔加时入交泛日及余秒，盈交终日及余秒去之，乃减交终日及余秒。即各得平交入其月中气日及余秒；若满气策即去之，余为平交入后月节气日及余秒。（若求朏朒定数，如求朔、望朏朒术入之，即得所求。）
求平交入转朏朒定数：置所入气余，加其日夜半入转余，乘其日算外损益率，如统法而一，所得，以损益其下朏朒积，乃以交率乘之，交数而一，为定数。
求正交入气：以平交入气、入转朏朒定数，朏减朒加平交入气余，满若不足，进退其日，即正交入气日及余秒。
求正交加时黄道日度：置正交入气余，副之，以乘其日升降分，一万约之，升加降减其副，乃以一百乘之，如统法而一，以加其日夜半日度，即正交加时黄道日度及分秒。
求正交加时月离九道宿度：置正交度加时黄道日及分，三之，为限分。用减四百，余以限分乘之，二万四千而一，命曰月道与黄道差数。以加黄道宿度，仍计去冬、夏二至已来度数，以乘差数，如九十而一，为月道与赤道差数。同名以加，异名以减，二差皆增损正交度，即正交加时月离九道宿度及分秒。
求定朔弦望加时月离黄道宿度：置定朔、弦、望加时日躔黄道宿度及分，凡合朔加时，月行潜在日下，与太阳同度，是为加时月度。各以弦、望度加其所当日度，满黄道宿次去之，即各得定朔、弦、望加时月离黄道宿度及分秒。
求定朔弦望加时月离九道宿度：置定朔、弦、望加时月离黄道宿度及分秒，加前宿正交后黄道积度，如前求九道术入之，以前定宿正交后九道积度减之，余为定朔、弦、望加时月离九道宿度及分秒。（凡合朔加时，若非正交，即日在黄道、月在九道所入宿度。虽多少不同，考其去极，若应绳准，故曰加时九道。）
求定朔午中入转：各视经朔夜半入转日及余秒，以半法加之，若定朔及余有进退者，亦进退转日，否则因经为定。（因求次日，累加一日，满转周日及余秒去之，即每日午中入转。）
求晨昏月度：以晨分乘其日算外转定分，如统法而一，为晨转分；用减转定分，余为昏转分；乃以朔、弦、望小余乘其日算外转定分，如统法而一，为加时分；以减晨昏转分，余为前；不足减者，覆减之，余为后；以前加后减定朔、弦、望月度，即晨、昏月所在度。
求朔弦望晨昏定程：各以其朔昏定月减上弦昏定月，余为朔后昏定程；以上弦昏定月减望昏定月，余为上弦后昏定程；以望晨定月减下弦晨定月，余为望后晨定程；以下弦晨定月减后朔晨定月，余为下弦后晨定程。
求每日转定度数：累计每程相距日转定分，以减定程，余为盈；不足减者，覆减之，余为缩；以相距日除之，所得，盈加缩减每日转定分，为每日转定度及分秒。
求每日晨昏月：置朔、弦、望晨昏月，以每日转定度及分加之，满宿次去之，为每日晨昏月。（凡注历，自朔日注昏月，望后一日注晨月。）已前月度并依九道所推，以究算术之精微，如求速要，即依后术求之。
求天正十一月经朔加时平行月：置岁周，以天正闰余减之，余以统法约之为度，不满，退除为分秒，即天正十一月经朔加时平行月积度及分秒。
求天正十一月定朔夜半平行月：置天正经朔小余，以平行月度分秒乘之，如统法而一为度，不满，退除为分秒，以减天正十一月经朔加时平行月积度，即天正十一月经朔晨前夜半平行月。其定朔大余有进退者，亦进退平行度，否则因经为定，即天正十一月定朔晨前夜半平行月积度及分秒。
求次定朔夜半平行月：置天正十一月定朔晨前夜半平行月积度及分秒，大月加三十五度八十分、秒六十一，小月加二十二度四十三分、秒七十三半，满周天度及约分、秒去之，即得次定朔晨前夜半平行月积度及分秒。
求弦望定日夜半平行月：各计朔、弦、望相距之日，乘平行度及分秒，以加其月定朔晨前夜半平行月积度及分秒，即其月弦望定日晨前夜半平行月积度及分秒。
求定朔晨前夜半入转：置其月经朔晨前夜半入转日及余秒，若定朔大余有进退者，亦进退转日，否则因经为定，其余如统法退除为分秒，即得其月定朔晨前夜半入转日及分秒。（因求次日，累加一日，满转周二十七日五十五分、秒四十六去之，即每日晨前夜半入转。）
求定朔弦望晨前夜半定月：置定朔、弦、望晨前夜半入转分，乘其日算外增减差，百约为分，分满百为度，增减其下迟疾度，为迟疾定度；迟减疾加定朔、弦、望晨前夜半平行月积度及分秒，以天正冬至加时黄道日度加而命之，即各得定朔、弦、望晨前夜半月离宿度及分秒。（如求每日晨、昏月，依前术入之，即得所求。）
步晷漏
二至限：一百八十二日六十二分。
一象：九十一日三十一分。
消息法：九千七百三。
半法：六千一十五。
辰法：二十五。
半辰法：一十二半。
刻法：一千二百三。
辰刻：八、余四百一。
昏明分：三百太。
昏明刻：二、余六百一半。
冬至岳台晷影常数：一丈二尺八寸五分。
夏至岳台晷影常数：一尺五寸七分。
冬至后初限夏至后末限：四十五日、六十二分。
冬至后末限夏至后初限：一百三十七日、空分。
求岳台晷影入二至后日数：计入二至以来日数，以二至约分减之，乃加半日之分五十，即入二至后来午中日数及分。
求岳台午中晷影定数：置入二至后日及分，如初限已下者为初；已上，覆减二至限，余为末。其在冬至后初限、夏至后末限者，以入限日入分减一千九百三十七半，为泛差。仍以入限日及分乘其日盈缩积，（其盈缩积者，以入盈缩限日及分与二百相减相乘，为盈缩积也。）五因百约，用减泛差，为定差；乃以入限日及分自相乘，以定差乘之，满一百万为尺，不满为寸、分，以减冬至岳台晷影常数，余为其日午中晷影定数。其在冬至后末限、夏至后初限者，以三约入限日及分，减四百八十五少，为泛差；仍以盈缩差度减去极度，余者春分后、秋分前，四约，以加泛差，为定差。春分前、秋分后，以去二分日数乘之，六百而一，以减泛差，为定差。乃以入限日及分自相乘，以定差乘之，满一百万为尺，不满为寸分，以加夏至岳台晷影常数，为其日午中晷影定数。
求每日午中定积日：置其日午中入二至后来日数及分，以其日盈缩分盈加缩减之，即每日午中定积日及分。
求每日午中消息定数：置定积日及分，在一象已下自相乘，已上，用减二至限，余亦自相乘，七因，进二位，以消息法除之，为消息常数；副置之，用减六百一半，余以乘其副，以二千六百七十除之，以加常数，为消息定数。（冬至后为息，夏至后为消。）
求每日黄道去极度：置其日消息定数，十六乘之，满四百一除之为度，不满，退除为分，春分后加六十七度三十一分，秋分后减一百一十五度三十一分，即每日午中黄道去极度及分。
求每日太阳去赤道内外度：置其日黄道去极度及分，与一象度相减，余为太阳去赤道内、外度及分。（去极多为日在赤道外，去极少为日在赤道内。）
求每日晨昏分及日出入分半昼分。置其日消息定数，春分后加二千一百少，秋分后减三千三百八少，各为其日晨分；用减统法，余为昏分。以昏明分加晨分，为日出分；减昏分，为日入分；以日出分减半法，余为半昼分。
求每日距中度：置其日晨分，进位，十四因之，以四千六百一十一除之为度，不满，退除为分，即距子度。用减半周天，余为距中度；五而一，为每更差数。
求每日夜半定漏：置晨分，进一位，如刻法而一为刻，不满为刻分，即每日夜半定漏。
求每日昼夜刻及日出入辰刻：置夜半定漏，倍之，加五刻，为夜刻。减百刻，为昼刻。以昏明刻加夜半定漏，命子正，算外，得日出辰刻。以昼刻加之，命如前，即日入辰刻。（其辰数依发敛术求之。）
求更点辰刻：置其日夜半定漏，倍之，二十五而一为筹差；半之，进位，为更差。以昏明刻加日入辰刻，即甲夜辰刻；以更筹差累加之，满辰刻及分去之，各得每更筹所在辰刻及分。（若用司辰漏者，倍夜半定漏，减去待旦十刻，余依术算，即得内中更筹也。）
求每日昏晓中星及五更中星：置距中度，以其日昏后夜半赤道日度加而命之，即得其日昏中星所格宿次，命之曰初更中星。以每更差度加而命之，即乙夜中星。以更差度累加之，去命如前，即五更及晓中星。（若依司辰星漏倍距子度，减去待旦三十六度五十二分半，余依术求更点差度，即内中昏晓五更及攒点中星也。）
求九服距差日：各于所在立表候之，若地在岳台北，测冬至后与岳台冬至晷影同者，累冬至后至其日，为距差日。若地在岳台南，测夏至后与岳台晷影同者，累夏至后至其日，为距差日。
求九服晷影：若地在岳台北冬至前后者，以冬至前后日数减距差日，为余日。以余日减一千九百三十七半，为泛差。依前术求之，以加岳台冬至晷影常数，为其地其日午中晷影定数。冬至前后日多于距差日者，乃减去距差日，余依法求之，即得其地其日午中晷影定数。若地在岳台南夏至前后者，以夏至前后日数减距差日，为余日。乃三约之，以减四百八十五少，为泛差。依前术求之，以减岳台夏至晷影常数，即其地其日午中晷影定数。如夏至前后日数多于距差日，乃减去距差日，余依法求之，即得其地其日午中晷影定数，即晷在表南也。
求九服所在昼夜漏刻：各于所在下水漏，以定二至夜刻，乃相减，余为二至差刻。乃置岳台其日消息定数，以其处二至差刻乘之，如岳台二至差刻二十除之，所得为其地其日消息定数。乃倍消息定数，进位，满刻法约之为刻，不满为分，以加减其处二至夜刻，（春分后、秋分前，以加夏至夜刻；秋分后、春分前，以减冬至夜刻。）为其地其日夜刻；以减百刻，余为昼刻。（求日出入差刻及五更中星，并依岳台法求之。）