5.命题是诸基本命题的真值函项(基本命题是其自身的真值函项)
5.01 基本命题是命题的真值主目。
5.02 函项的主目很容易与名称的标号混淆。因此主目和标号都能让我识别出包括它们的符号的意谓。
例如，罗素写“+c”时，“c”就是一个标号，表明这个符号作为一个整体是基数的加法符号。这个符号的使用是任意约定的结果，并且可以选择一个简单符号代替“+c”；然而，在“～p”中，“p”不是标号，而是一个主目：“～p”的意义不会得到理解，除非“p”的意义已经被理解了。(在儒略·凯撒这个名称中，“儒略”是一个标号。标号始终是对象描述的一部分，对象的名称与其相伴：例如，儒略氏族的那个凯撒。)
如果我没弄错，弗雷格有关命题和函项意谓的理论建立在主目与标号之间的混淆上。弗雷格把逻辑命题当作名称，把主目当作这些名称的标号。
5.1 真值函项可以被安排进序列之中。
这就是概率论的基础。
5.101 给定数目的基本命题，其真值函项始终可以以下列形式表达出来。
(TTTT)(p,q)重言式(如果p那么p，并且如果q那么q)。(p⊃p.q⊃q)
(FTTT)(p,q)换言之：并非p和q。[～(p.q)]
(TFTT)(p,q)换言之：如果q，那么p。(q⊃p)
(TTFT)(p,q)换言之：如果p，那么q。(p⊃q)
(TTTF)(p,q)换言之：p或q。(p∨q)
(FFTT)(p,q)换言之：非q。(～q)
(FTFT)(p,q)换言之：非p。(～p)
(FTTF)(p,q)换言之：p或q，但非p和q。(p.～q∶∨∶q.～p)
(TFFT)(p,q)换言之：如果p，那么q，并且如果q
那么p。(p≡q)
(TFTF)(p,q)换言之：p。
(TTFF)(p,q)换言之：q。
(FFFT)(p,q)换言之：非p非q。(～p.～q或p|q)
(FFTF)(p,q)换言之：p和非q。(p.～q)
(FTFF)(p,q)换言之：q和非p。(q.～p)
(TFFF)(p,q)换言之：q和p。(q.p)
(FFFF)(p,q)矛盾式(p和非p；q和非q)。(p.～p.q.～q)
我称对那些使它的真值参数为真的真值可能性为命题的真值基础。
5.11 如果与一系列命题共有的全部真值基础，同时也是某个命题的真值基础，那么我们说那个命题的真得自其他命题的真。
5.12 尤其是，如果后者的全部真值基础是前者的真值基础，命题“p”的真得自另一个命题“q”的真。
5.121 一个命题的真值基础存在于其他命题的真值基础中：p得自q。
5.122 如果p得自q，那么“p”的意义存在于“q”的意义中。
5.123 如果在上帝创造的世界中，某些命题为真，那么根据那个行为，他也创造了所有得自它们的命题都为真的世界。类似地，他不能创造这样的世界：在其内命题“p”为真，但他却没有创造出它的所有对象。
5.124 命题肯定每个得自于它的命题。
5.1241 “p.q”是一个肯定“p”的命题，同时又是肯定“q”的命题。
如果没有有意义的命题肯定两个命题，那么这两个命题彼此相对。
每个命题都与否定它的命题相矛盾。
5.13 当一个命题的真值得自其他命题的真值时，我们可以从命题的结构中看出。
5.131 一个命题的真得自其他命题的真，这就表现在命题的形式的相互关联中。对我们来说也没有必要把它们联结起来在它们之间建立起这些关系；相反，这些关系是内在的，并且它们的存在是命题存在的直接结果。
5.1311 当我们从p∨q和～p中推论出q时，“p∨q”和“～p”之间的命题形式被这种表现掩盖了。但是，如果我们不写成“p∨q”而写成“p|q.|.p|q”，并且不写作“～p”，而是写作“p|p”(p|q=既非p也非q)，那么，其中的内在关联就明显了。
[从(x)·fx推论出fa的可能性表明，符号(x)·fx自身有一般性在其中。]
5.132 如果p得自q，那么我们就能够从q推论出p，从q中归纳出p。
推论的本质就能从这两个命题中获得。
它们自身仅是合理推论的可能。
“推理规则”，被期望用来证明推理的合理，就像弗雷格和罗素在著作中说的那样，没有意义，并且是多余的。
5.133 所有的推理都是先天进行的。
5.134 一个基本命题不能从另一个基本命题中推断出来。
5.135 从一种情况的存在不可能推出另一种完全不同情况的存在。
5.136 没有那样一种因果关联证明这样的推理是合法的。
5.1361 我们不能从当下的事件推论出将来的事件。迷信就是相信因果关联。
5.1362 意志自由在于我们现在不可能知道将来的行动。
我们能够知道将来的行动，仅在于因果关系是内在的必然性，像逻辑推理那样。——知道和所知道的东西之间的联系是逻辑必然性的联系。
(如果p是重言式，那么“A知道p是事实”就没有意义。)
5.1363 如果命题的真值不是得自它是自明的这个事实，那么它的自明性绝没有证明我们对其真的信念是合理的。
5.14 如果一个命题得自另一个命题，那么后者表达得比前者多，并且前者比后者表达得少。
5.141 如果p得自q并且q得自p，那么它们是相同的命题。
5.142 重言式得自所有命题：它无所说。
5.143 矛盾式是没有任何命题与其他命题有共性的命题之共有元素。重言式是所有与其他命题没有任何共性的所有命题之共有元素。
人们可以说，矛盾式消失在所有命题之外，重言式消失于所有命题之中。
矛盾式是命题的外在界限，重言式是命题核心中的非实质的点。
5.15 如果Tr是命题“r”真值基础的数，Trs是命题“s”的真值基础的数，它们同时也是“r”的真值基础的数，那么，我们称Trs∶Tr为命题“r”给予命题“s”的概率度。
5.151 像上面5.101的图表中，让Tr作为命题r中“T's”的数，并且让Trs作为竖列命题s中处于命题r有“T's”的命题中“T's”的数。那么这个命题r给予命题s的概率为Trs∶Tr。
5.1511 没有概率命题独有的特殊对象。
5.152 当命题与其他命题没有共同的真值参数时，我们称它们彼此独立。
两个基本命题彼此给予的概率为1/2。
如果p得自q，那么命题“q”给予命题“p”的可能性是1。逻辑推理的确定性是可能性事实的界限。
(这可应用于矛盾式和重言式。)
5.153 在其自身中，命题既不是可能的，也不是不可能的。事件或者出现或者不出现，没有中间情况。
5.154 假设一个缸里有相同数量的黑色球和白色球(并且没有任何其他颜色的球)。我一个接一个地取出球，然后又把它们放回到缸里。通过这个实验，我可以发现在不断取出时，取出的黑色球的数量和取出的白色球数量彼此接近。
因此，这不是数学的事实。
现在，如果我说，“我取出的白色球的概率等于我取出的黑色球的概率”，这意味着在所有情况下，我知道一个事件出现的概率不比另一种情况出现的概率更大。这就是说，每种情况出现的概率是1/2，这可以从上述定义中很容易得出。
通过这个实验，我肯定的东西是这两个事件的出现独立于我没有详细说明的情况。
5.155 概率命题的最小单位是这样：我尚未进一步了解的情况，给出这种具体事件出现的概率度。
5.156 正是以这种方式，概率才成为抽象化陈述。
它涉及命题形式的一般描述。
我们仅在缺少确定性时使用概率——虽然我们对事实的了解确实不是完整的，但是我们确实知道关于其形式的某些东西。
(命题可能是某种事态的不完整图像，但它始终是某种事物的完整图像。)
可能性命题是从其他命题摘录出来的一种命题。
5.2 命题的结构代表着与其他命题之间彼此的内在关系。
5.21 为了突出这些内在关系，我们可以采纳下面表现模式：我们可以用其他命题(作为运算的基础)当作运算产生的结果来表现命题。
5.22 运算是命题结果的结构和命题基础结构之间关系的表达式。
5.23 运算是为了使其他命题得自它而必须对该命题做出处理的东西。
5.231 当然，这将依赖其形式属性，依赖其形式的内在相似性。
5.232 通过对系列的整理，内在关系等价于从一个术语产生另一个术语的运算。
5.233 运算不能在使一个命题以逻辑上有意义的方式产生自另一个命题之前出现；即，它只能在命题的逻辑构造过程开始的地方出现。
5.234 基本命题的真值函项是作为基础的基本命题运算的结果。
(这些运算，我称为真值运算。)
5.2341 p的真值函项的意义是p的意义的函项。
否定、逻辑加法、逻辑乘法等都是运算。
(否定颠倒了命题的意义。)
5.24 运算在变项中表明自身；它表明我们如何能够从一种命题形式得到另一种命题形式。
它表明形式之间的不同。
(运算的基础和它的结果共有的东西是基础本身。)
5.241 运算没有标示任何形式，而只是标示出不同形式间的差异。
5.242 使“p”产生“q”的运算也使“q”产生“r”，如此等等。这点只能表达在如下事实中：
“p”“q”“r”等必定是变项，它们以一般方式表达出某种形式关系。
5.25 运算的出现不描述命题的意义特征。
确实，运算并没有说出什么，只是它的结果说出了一些，并且这依赖于运算的基础。
(一定不要将运算和函项相互混淆。)
5.251 一个函项不能是它自己的主目，但一个运算的结果却可以是它自己的基础。
5.252 唯有通过这种方式，从形式序列中的一个词项到
另一个词项(在罗素和怀特海的层级结构中是从一个类型到另一个类型)的进展才是可能的。
(罗素和怀特海不承认这些进展的可能性，而只是重复使用它。)
5.2521 如果运算重复地应用于其自身的结果之上，那么我把这个称为它的连续应用。(“O'O'O'a”是“O'ξ”三次连续应用于“a”的结果。)在类似的意义上，我谈论的是不止一个运算在若干命题上的应用。
5.2522 因此，我使用将“[a,x,O'x]”写作a， O'a，O'O'a，……这个形式序列的通项。被括起来的这个表达式是变项。被括起来的表达式的第一个词项是该形式系列的开始，第二个词项是从该系列中任意选取的词项x，并且第三个词项是该系列中紧跟着x的词项的形式。
5.2523 运算连续应用的概念等于“诸如此类”这个概念。
5.253 一个运算可以抵消另一个运算的影响。运算可以相互抵消。
5.254 运算可以消失(例如“～p”中的否定：～p=p)。
5.3 所有命题都是有关基本命题真值运算的结果。
真值运算是真值函项得自基本命题的方式。就像基本命题得自自身的真值函项一样，它是真值运算的本质，因此也是以同样的方式，真值函项生成进一步的真值函项。当真值运算被应用于基本命题的真值函项时，它总是生成另一个基本命题的真值函项，另一个命题。当真值运算被应用于有关基本命题的真值运算结果时，始终存在着有相同结果的基本命题的单一运算。
每个命题都是基本命题真值运算的结果。
5.31 即使“p”“q”“r”等不是基本命题，4.13中的图式仍然有意义。
很容易理解，4.442中的命题符号表达基本命题的单一真值函项，即使在“p”和“q”是基本命题的真值函项时。
5.32 所有的真值函项都是连续应用有限次数真值运算于基本命题的结果。
5.4 在这一点上，没有“逻辑对象”或“逻辑常项”(在弗雷格和罗素的意义上)。
5.41 原因是建立在真值函项之上的真值运算结果始终是相同的，只要它们是同一基本命题的真值函项。
5.42 显然，∨、⊃等不是左边、右边等意义上的关系。弗雷格和罗素的逻辑“初始符号”的可相互定义性足以表明，它们不是初始符号，更不是关系符号。
很明显，经由“～”和“∨”而被定义的“⊃”与在“∨”的定义中与“～”一起计算的是同一个“⊃”；并且第二个“∨”与第一个“∨”是完全相同的；如此等等。
5.43 有一个事实乍看起来不大可信：从一个事实p可以得到无数其他事实，即～p、～～～～p等等。许许多多的逻辑(数学)命题得自“基本规律”这一事实同样令人意外。
可事实上，所有逻辑命题表达同样的东西，即什么都没有。
5.44 真值函项不是实质函项。
例如，能够通过双重否定产生肯定：在这种情况下，是否可以得出，在某种意义上否定包含在肯定中？“～～p”否定“～p”，或者它肯定了p，或两者都是？
命题“～～p”对否定的处理方式并不是与对对象 的处理方式一样；另一方面，否定的可能性已经被认为于肯定中。
如果有一个对象被称为“～”，那么就可以得出“～～p”说出了不同于“p”说出的东西，只是因为在它们之中，有一个～的，而另一个并不处理。
5.441 这种似是而非的逻辑常项的消失也出现如下情况：“～(∃x),～fx”与“(x)·fx”表达相同，或者“(∃x)·fx·x=a”与“fa”表达相同。
5.442 如果给予了我们命题，那么与其一道的真值运算的结果也被给予了我们。
5.45 如果有逻辑的初始符号，那么任何未能清楚显示它们彼此相对位置如何的，以及证明它们存在合理的逻辑，都是不正确的。得自其初始符号的逻辑构造过程必须是清楚明白的。
5.451 如果逻辑有初始概念，那么它们必定彼此独立。如果已经引入了初始概念，那么必定在所有它曾出现的联结中引入。因此，它不能先引入一个联结中，并且后来又为另一个联结重新引入。例如，一旦引入否定，我们必须在“～p”这个形式的命题中和在像“～(p∨q)”“(∃x)·～fx”等这样的命题中能理解它。我们不能先在一类事实引入它，然后，在另一类的事实中再引入它，因为这会留下疑问：它的意义是否在两类情况下相同。并且在这两种情况下，没有理由以相同的方式联结这些符号。
[简言之，弗雷格关于通过定义(在《算术的基本规律》中)引入符号的评论也适用于初始符号的引入。]
5.452 在逻辑符号的使用中引入任何新的方案，必定是件重要的事。逻辑中，新的逻辑方案不应该在括号或在补充说明中以人们所说的不重要的方式引入。
(在罗素和怀特海的《数学原理》中，用语词表达的定义和初始命题就是这样出现的。为什么它突然以语词出现？它需要证明，但却没有给出，可这是要给出的，因为这个过程事实上是不允许的。)但是，如果新符号的引入被证明在某一点上是必须的，我们必须直接问：“在哪一点上这个符号的使用是不可避免的？”并且它在逻辑中的位置必须得到澄清。
5.453 在逻辑中所有的数都必须是可以找到根据。或者确切地说，在逻辑中不存在任何数。
不存在任何非凡的数。
5.454 在逻辑中没有并列，并且不可能有任何分类。
在逻辑中，不存在一般与特殊的东西。
5.4541 逻辑问题的解决必须是简单的，因为它们设置了简单性标准。
人们始终有一个预感：存在一个范围，其中对这个范围里的问题的回答被先天地以对称的方式联结起来，形成了一个封闭的、合乎规则的系统。
这样一个领域内，适用如下原则：简单性是真理的标志。
5.46 如果我们正确地引入逻辑符号，那么我们应该同时提出它们全部联结的意义；即，不仅引入“p∨q”，而且引入“～(p∨～q)”等等。我们还应该同时提出所有可能的括弧联结的效果。因此，清楚地表明了真正一般的初始符号不是“p∨q”“(∃x)·fx”等，而是它们的联结的最一般的形式。
5.461 虽然看起来不重要，但事实上具有逻辑的虚假关系，如∨和⊃，与真实的关系不同，它们需要括弧。确实，这些似是而非的初始符号与括弧一起使用说明：它们不是真正的初始符号。并且，没人会相信括弧有独立的意谓。
5.4611 逻辑运算符号是标点符号。
5.47 显然，有关所有命题的形式，凡是我们能够预先表达的，我们一定能够同时表达。
基本命题确实在其自身中包含所有逻辑运算。因为“fa”与“(∃x)·fx·x=a”表达相同的事物。
有复合性的地方，就有函项和主目，并且有它们的地方，我们就有了所有的逻辑常项。
人们可以说，唯一的逻辑常项是全部命题根据它们的本质彼此之间共同拥有的东西。
而这是一般的命题形式。
5.471 一般命题的形式是命题的本质。
5.4711 给出命题的本质意味着给出所有描述的本质，因此也就给出了世界的本质。
5.472 最一般的命题形式的描述在逻辑上只是一般初始的描述。
5.473 逻辑必须照料自身。
如果符号是可能的，那么它也能够指称。凡在逻辑上是可能的，都是被允许的。(“苏格拉底是同一的”没有意谓的原因是没有那样的属性被称为“同一的”。这个命题之所以是无意义的，是因为我们在其自身中未能做出合逻辑的主观判断，不是由于这个符号本身就是不允许的。)
在某种意义上，我们不能在逻辑上犯错。
5.4731 罗素谈论最多的自明性在逻辑上是不必要的，就是因为语言自身阻止了每个逻辑错误。——逻辑是先天的，这点在于我们不能不合逻辑地思维。
5.4732 我们不能给符号以不适当的意义。
5.47321 奥卡姆箴言，当然不是任意的规则，也不是通过它在实践中的成就而被证明合理的，其关键在于符号语言中的不必要单位没有意谓。
服务于某一目的的诸多符号在逻辑上是相等的，并且不服务于任何目的的诸多记号在逻辑上没有意谓。
5.4733 弗雷格说，任何合法地构造起来的命题一定有意义；而我说任何可能的命题都是合法地构造起来的，并且，如果它没有意义，只能是由于我们未能给予构成它的某些部分以意谓。
(即使我们认为我们已经这样做了。)
因此，“苏格拉底是同一的”无所说的原因是我们没有给予“同一的”这个语词以任何形容的意谓。因为当它作为同一的符号而出现时，它以完全不同的方式象征——指称关系是不同的——因此，在这两种情形下符号也完全不同；这两个符号是偶然共同具有这个符号。
5.474 必要的基本运算次数仅取决于我们的符号系统。
5.475 重要的是，我们如何构造一个具有特定的维数——特定的数学多样性——的符号系统。
5.476 显然，这不是有关必须指派许多初始概念的问题，而是表达规则的问题。
5.5 每个真值函项都是连续应用于基本命题运算的结果：
“(-----T)(ξ,…·)”。
这个运算否定了右侧括号里所有命题，并且我称它为这些命题的否定。
5.501 如果当括号里的表达式有命题作为它的词项时——并且括号里的这些词项的次序无关紧要时——那么我根据这个形式“”指称它。“ξ”是变项，它的值是括号表达式的词项，并且变项上的短线表明它是括号里对它的值的表达。
[例如，如果ξ有三个值P， Q， R，那么= (P,Q,R)。]
该变项的值是被规定了的。
这个规定是对有变项作为其代表的命题的描述。被括起来的表达式的词项的描述如何产生的不是重要的问题。
我们可以区分三种描述：1.直接列举，在这种情况下，我们可以用作为它的值的常项替换变项；2.提供一个函项fx，对所有x的值，它是要被描述的命题的值；3.提供形式规则，该规则支配命题的结构。在这种情况下，括号内的表达式的诸项就是一个形式序列的所有项条件。
5.502 因此，我把“(-----T)(ξ,….)”写作“N(ξ)”。
N是命题变项ξ的所有值的否定。
5.503 显然，我们可以轻易地表达命题如何可能通过运算被构造出来及如何不能被构造出来；因此，它必定可以找到一个确切的表达式。
5.51 如果ξ只有一个值，那么N=～p(非p)；如果它有两个值，那么N=～p·～q(既非p也非q)。
5.511 反映世界的、包含所有的逻辑，如何能够使用这样独特的奇思怪想和人为设计？只是因为它们都在无限精细的网络、巨大的镜子中彼此之间相互联结。
5.512 如果“p”为假，那么“～p”为真。因此，在命题
“～p”中，当它为真时，“p”是假命题。那么，短线“～”如何与实在相符？
但是在“～p”中，起否定作用的不是“～”，而是这个符号系统中所有否定p的符号所共有的东西。这就是说，它是用来构造“～p”“～～～p”“～p∨～p”“～p·～p”等(以至无穷)的那条共有规则。这个共有因素反映否定。
5.513 我们可以说，肯定p和肯定q的符号共有的东西是命题“p·q”；肯定p或肯定q的所有符号共有的东西是“p∨q”。
并且类似地，我们可以说如果两个命题它们彼此没有共有的东西，那么它们是互相反对的，并且每个命题都只有一个否定，因为仅有一个命题完全在它之外。
因此，在罗素的符号系统中，“q∶p∨～p”明显表达与“q”相同的事物，而“p∨～p”无所说。
5.514 一旦符号系统建立起来，就会有一条构造出否定p的命题的规则，一条构造出肯定p的全部命题的规则，以及构造出肯定p或肯定q的所有命题的规则；如此等等。这些规则对于这些符号都是相同的，并且在它们当中，后者的意义反映于前者之中。
5.515 根据“∨”“·”等而被彼此联结起来的只能是命题，这在我们的符号中是显然的。并且这确实是个事实，因为在“p”和“q”这个符号自身中预设了“∨”“～”等等。如果“p”这个符号在“p∨q”中不代表复合符号，那么就其自身而言它不可能具有意义；而在这种情况下，与“p”有相同意义的“p∨p”“p·p”等这些符号中，必定也不具有意义。如果“p∨p”没有意义，那么“p∨q”也不可能有意义。
5.5151 否定命题的符号一定要有肯定命题的结构吗？为什么通过否定事实不能表达否定命题？(例如，假设“a”不代表与“b”有某种确定的关系，那么这可能被用来表达aRb不是事实。)但确实，在这种情况下，否定命题是通过间接地肯定命题的使用而被构造起来。
肯定命题必须预设否定命题的存在，反之亦然。
5.52 如果ξ的值是函项fx相对于x的所有值的所有值，那么N=∼(∃x)·fx。
5.521 我把这个概念从真值函项中全部分离出来。
弗雷格与罗素在与逻辑积和逻辑和的关联中引入一般性。这就很难理解包含着这两个观念的命题“(∃x)·fx”和“(x)·fx”。
5.522 一般性符号的独特之处在于：第一，它指示了逻辑初像；第二，它突出了常项。
5.523 一般性符号作为主目出现。
5.524 如果几个对象是给定的，那么同时所有的对象都是给定的。
如果基本命题是给定的，那么同时所有的基本命题都是给定的。
5.525 像罗素那样，把命题“(∃x)·fx”用语词描绘成“fx是可能的”，这是错误的。
事态的确定性，可能性或不可能性不是通过命题而得到表达的，而是作为重言式、有意义的命题或矛盾式得到表达的。
我们想一再援引的先例，必定存在于符号自身中。
5.526 我们根据充分概括的命题完全描述世界，即没有先把任何名称与特定对象联系起来。
那么为了获得习惯的表达方式，我们只需要在表达式如“有一个而且仅有一个x，它……”后加语词“并且x是a”。
5.5261 完全一般化的命题，像任何其他命题一样，是复合而成的。(“(∃x,)·x”中我们必须分别提到“”和“x”的事实表明了这一点：
它们都独立地处在与世界的指称关系中，就像是在未经一般化的命题情形中一样。)
复合符号的标志是：它与其他符号具有某种共同的东西。
5.5262 每个命题的真或假确实改变了世界的一般性结构中的某种东西。全部基本命题留给其结构的活动范围，与完全的一般性命题限定的范围一样。
(如果一个基本命题为真，那么这就意味着，至少还有一个为真的基本命题。)
5.53 我通过符号表达对象的同一，而不是通过使用同一性的符号。我根据不同的符号表达对象的不同。
5.5301 显而易见的是，同一性不是对象间的关系。如果人们考虑一下，例如在命题“(x)∶fx·⊃·x=a”中就可以很清楚地看出了。这个命题表达的只是仅有a满足函项f，并且不只是与a有某种关系的事物满足函项f。
当然，它可能被表达为仅a确实与a有这个关系；
但是为了表达它，我们需要同一性符号本身。
5.5302 罗素的“=”定义是不充足的，因为根据这个定义，我们不能表达两个对象共有的全部属性。
(即使这个命题不正确，但它仍具有意义。)
5.5303 大致来说，说两个事物同一是无意义的；说一个事物与其自身同一也等于根本什么都没说。
5.531 因此，我不写“f(a,b)·a=b”，而是写作“f(a,a)”[或“f(b,b)”]；并且不写“f(a,b)·～a=b”，而是写作“f(a,b)”。
5.532 类似地，我不写“(∃x,y)·f(x,y)·x=y”，而写作
“(∃x)·f(x,x)”；不写作“(∃x,y)·f(x,y)·～x=y”，而是写作“(∃x,y)·f(x,y)”。
[于是，罗素的“(∃x,y)·f(x,y)”就成了“(∃x,y)·f(x,y)·∨·(∃x)·f(x,x)”。]
5.5321 因此，例如“(x)∶fx⊃x=a”，我们把它写作“(∃x)·fx·⊃ fa∶～(∃x,y)·fx·fy”。
并且，命题“恰好有一个x满足f( )”，写作“(∃x)·fx∶～(∃x,y)·fx·fy”。
5.533 同一性符号因此不是概念文字中具有本质意义的成分。
5.534 因此，我们看到在正确的概念文字中的伪命题如“a=a”“b=a·b=c·⊃a=c”“(x)·x=x”“(∃x)·x=a”等不能被写下来。
5.535 这也解决了与这样的伪命题相关联的所有问题。
罗素的“无穷公理”带来的所有问题能够在这一点上得到解决。
无穷公理想要表达的东西是在语言中通过无穷多有不同意谓之名称的存在表达自身。
5.5351 在某些情况下，人们有兴趣使用“a=a”或“p⊃p”以及类似的表达式。事实上，这常发生在人们想要讨论有关命题、事物等初像的时候。
因此，罗素在《数学的原则》中，提出“p是一个命题”——是无意义的——象征性地用“p⊃p”表示，并且被放置在某个命题前作为假设，为的是表明它们的主目位置只能由命题占据。
(为了确认命题的主目有正确的形式，在命题前放一个前提“p⊃p”是无意义的。因为该前提对非命题作主目来说不是假的，而是无意义的，并且因为这个错误种类的主目使得命题自身无意义。因此该命题或许能避免错误，或者更糟糕，就如那个没有意义的，为了那个目的而追加的假设一样。)
5.5352 以相同的方式，人们想要通过“～(∃x)·x=x”表达“无物存在”。它尽管只是一个命题——虽然事实上“有物存在”，但它们不与自身同一，难道它不同样为真吗？
5.54 在一般的命题形式中，命题仅作为真值运算的基础出现在其他命题中。
5.541 乍看起来，命题似乎也可能以不同的方式出现在其他命题中。
尤其是在某种心理学命题形式中，诸如“A相信p是事实”“A认为p”等等。
因为从表面上看，似乎这个命题p与对象A处于某种关系中。
[在现代知识论中(比如在罗素、摩尔等人那里)，这些命题确实是以这种方式被理解的。]
5.542 然而，显然“A相信p”“A认为p”，以及“A表达p”是“‘p’表达p”的形式：这不涉及事实与对象的相互关联，而只是经由诸对象之间关联的事实的相关联。
5.5421 这也表明，就像今天浅薄的心理学认为的那样，心灵这样的东西——这种主体等等——是个怪物。
确实，一个复合的心灵不再是心灵。
5.5422 关于命题“A断定p”的形式正确地表明，断定一句胡话是不可能的。(罗素的理论不满足这个要求。)
5.5423 感知复合物意味着感知它的构成以如此这般的方式彼此关联。
这无疑也解释了人们看到这个立方体图形的两个可能的方式的原因以及所有类似的现象。
因为我们确实看到两个不同的事实。
(如果我首先看到的是a，并且只是快速地看了一下b，那么a出现在前面，反之，则b出现在前面。)
5.55 我们现在必须回答有关所有基本命题可能形式的先天的问题。
基本命题由名称构成。然而，因为我们不能给出有不同意谓的名称总数，所以我们也不能给出基本命题的构成形式。
5.551 我们的基本原则是，可以根据逻辑而被解决的任何问题都必须能立即被解决。
(如果我们为了回答这样的问题而进入审视世界的位置，这表明我们走在完全错误的道路上。)
5.552 为了理解逻辑，我们需要的“经验”不是“某物就是如此的”，而是“某物存在”。然而，这不是经验。
逻辑先于任何经验——某物是如此这般的。
它先于“如何”这个问题，而不先于“什么”这个问题。
5.5521 如果情况不是这样，那么我们如何应用逻辑？
我们可能以这样的方式提出：即使不存在世界，也有逻辑，那么，如何在存在一个世界的情况下存在着某种逻辑？
5.553 罗素说不同事物(个体的)的数目之间存在着简单关系。可在哪些数目之间？并且应该如何确定？根据经验？
(不存在非凡的数。)
5.554 给出任何具体的形式都是完全任意的事情。
5.5541 回答这个先天的问题是可能的：为了能够指派某物，我是否必须用一个具有27个关系符号。
5.5542 但是，我们可以问这样的问题吗？
我们能不能在不知道是否有事物与其对应的情况下建立符号的形式？
这么问是否有意义？问题：为了某物能够成为事实，一定存在着某个东西？
5.555 虽然，我们有基本命题的某些观念，但是在不考虑它们具体的逻辑形式的情况下。
但是，当存在着我们能够据以建立符号的系统时，对逻辑来说至关重要的东西是这个系统，而不是那些个别的符号。
但是，逻辑中，我们必须处理的东西如何可能是我们能够发明的形式？我们必须处理的东西必须是我们能发明的东西。
5.556 不可能存在由基本命题形式构成的等级系统。我们可以预见的只是我们自己构造的东西。
5.5561 经验实在被全部对象限定。该限定也表明其自身在基本命题的总和中。等级系统必定是独立于实在。
5.5562 如果我们知道必定存在着基本命题的纯粹逻辑基础，那么任何在它们未被分析的形式中理解命题的人一定知道它。
5.563 事实上，我们日常语言的全部命题就像它们所象征的一样，处于完美的逻辑次序中。我们必须在这里确切阐明的最简单的事物不是真理的一幅画像，而是作为完整的真理本身。
(我们的问题不是抽象的，也许在这里是最具体的。)
5.557 逻辑的应用确定有什么样的基本命题。
逻辑不能预示属于其范围内的东西。
显然，逻辑不能与它的应用相抵触。
但是，逻辑必定与其应用相关联。
因此，逻辑和它的应用不能彼此交叉。
5.5571 如果我不能先天地表达基本命题有的东西，那么这样做的企图必定导致明显的无意义。
5.6 我的语言的界限意味着我的世界的界限。
5.61 逻辑充满世界；世界的界限也是它的界限。
因此，我们不能逻辑地表达：“世界中存在这个，并且是这个不是那个。”
因为，它会出现在我们排除某种可能性的预设中。
因此，这不能成为事实，否则它需要逻辑超出世界的界限；因为只有在这种方式上，它才可以把那些界限也看作是其他事物的界限。
我们不能思考我们不能思考的东西；因此，我们不能思考的东西也不能被表达。
5.62 这句话提供了问题的关键，即唯我论中有多少东西是真的。
因为，唯我论者的本意是非常正确的；只是它不能被表达出来，但它使其自身显示出来的。
世界是我的世界，这句话表明：事实上语言的界限意味着我的世界的界限。
5.621 世界和生命是一个东西。
5.63 我是我的世界。(微观宇宙)
5.631 不存在思维的、表象的主体。
如果我写一本为“我发现的世界”的书，一定会包括我对身体的描述，并且一定要说出服从我意志的部分，以及不服从我意志的部分，等等。这是分离主体的方法，确切地说，在重要的意义上，没有主体；因为在那本书中不能提及它。
5.632 这个主体不属于这个世界，确切地说，它是世界的界限。
5.633 在世界的什么地方可以发现形而上主体？
你会说这就恰如眼睛和视野的情况。但是事实上，你看不到眼睛。
并且野中没有什么东西允许你推论出它是被眼睛看到的。
5.6331 因为视野的形式确实不是这样：
5.634 这就与这样的事实相关联，我们经验中没有哪个部分同时又是先天的。
无论我们看到什么，都可能是除它之外的别的什么东西。
无论我们能够描述什么东西，都可能是除它之外的别的什么东西。
没有先天的事物序列。
5.64 这里可以看到唯我论，当它的含义被严格贯彻时，与实在论相符。
唯我论本身收缩成没有广延的一点，并且它在这里留下了那个与其配合的实在。
5.641 因此，在哲学以非心理方式的意义上讨论自我确实是有意义的。
把自身带入哲学的东西是“世界是我的世界”这个事实。
哲学的自我不是人，不是人的身体，或心理学上处理的心灵，而是形而上的主体，是世界的界限——不是其中的部分。