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- 第四十七章数学
第五节方程论
对方程论中高次方程实根个数判定问题的研究，是乾隆嘉庆时期中国数学家的重要成果之一。宋元时代数学家贾宪、秦九韶等，创造和发展了“增乘开方法”，解决了高次方程正实根的求解问题，但是对于该方程是否还有其他的根，方程根与系数之间的关系，则没有进行过探讨。清代数学家李锐、汪莱、焦循经常通信或在一起讨论数学和天文学问题，当时被誉为“谈天三友”。汪莱（1768—1813），字孝婴，号衡斋，安徽歙县人，著作有《衡斋遗书》9卷和《衡斋算学》7册。首先提出一个方程可能存在不只一个正根，并通过与李锐的讨论，提出一套“审有无”（即判别方程是否存在正根）的方法。他的结论包括：对于二次方程x2-px+q=0，当≤
q
(
p2
2
)
时，方程有正根；＞
q
(
p2
2
)
时，无正根。对于三次方程
3
x-px+q
=0
，当≤·时，方程有正根，否则无正根。这两个结果与现在
q
p3
2p3
判定二次方程与三次方程存在正实根的判别式p2-4q≥0与4p3-27q≥0是一致的。汪莱研究了xn-pxm+q=0类型的高次方程有无正实根的判定方法，上述两种判别式是这种判定方法的特例①。李锐（1769—1817），字尚之，号四香，江苏元和（今苏州市）人，著作有《李氏算学遗书》等。他在与汪莱讨论过程中，进一步发展了汪莱的成果，总结出下列几条规律：设有方程
a0xn+a1xn-1+……+an-1x+an=0，则1.方程系数有一次变号时，此方程有一个正根；2.方程系数有二次变号时，此方程可有两个正根；3.方程系数有三次变号时，此方程有三个或一个正根；4.方程系数有四次变号时，此方程可有四个或两个正根。其中2，4这两种情形，方程可能不存在正根，但在李锐《开方说》中不予讨论②。这些结论与现在所谓“笛卡儿符号法则”是一致的。此外，李锐还首次提出了方程的重根问题。他还指出：方程“不可开，是为无数。凡无数必两，无无一数者”①。当时虽然还没有虚根的概念，但他的这一结论为高次方程可能存在虚根（或复数根）和虚根成对的情况，以及方程根的个数问题等代数学基本问题，提供了进一步研究的广阔余地。李锐和汪莱关于高次方程实根个数判定问题的研究成果，虽然在时间上晚于西方，但他们突破了宋元数学的原有范围，开辟了方程理论研究的新方向，特别是他们在中国数学史上最早开创了带有纯理论性质的研究课题，并独立取得了一定的成就，这无疑应该给以充分的肯定。
①汪莱：《衡斋算学》第5册，第7册。②李锐：《开方说》，见《李氏算学遗书》。①李锐·《开方说》，见《李氏算学遗书》。
第六节初等函数的幂级数展开式
明末《崇祯历书》中已经介绍了三角函数表的编造方法，即所谓六宗、三要和二简法。这种造表法利用普通三角函数关系公式推算，相当繁琐，并且也不能算出任意角的三角函数值。此后陆续有人研究这一问题，但未取得重大突破。清初康熙年间，法国传教士杜德美（P.Jartoux，1668—1720）曾介绍三个无穷级数公式，当时称之为“圆径求周”、“弧背求正弦”和“弧背求正矢”，相当于圆周率π的展开式以及正弦和正矢的幂级数展开式：
25
…，p=
31
2143.!
sin
x
=-x
versx
=
2141!312!
·23·25!1!514!
x
x
3
2
21
5
x
4
x
··47!
3
23·17!16!
x
x
6
7
…，…．
梅瑴成将其记载在《梅氏丛书辑要》的附录《赤水遗珍》中。这些公式提供了计算任意角度三角函数值的简捷算法，受到当时数学家的欢迎。但由于杜德美没有给出这三个公式的证明，因而造成了理解上的困难。首先对此进行深入研究的是蒙古族数学家和天文学家明安图。明安图，字静庵，蒙古族正白旗人，生年不详，约卒于1763年。毕生在钦天监从事天文工作，曾任时宪科五官正，晚年升任钦天监监正。他经过30余年的不懈努力，把中国古代数学与引进的西方数学结合起来，创造了割圆连比例法和级数回求法，终于圆满地证明了上述三个公式，并且推导出另外六个公式，其中较重要的有反正弦和反正矢的幂级数展开式：+
··
1
1
3
2
2
5
2
2
arcsin
x
=+1
…，x
(
arcvers
2
)
=
2
x2
x
1!2
214
!
2
x
2
·26!
3
x
23
4
x
…．
明安图的数学专著是《割圆密率捷法》4卷。这部书在他生前未能完成，后由其学生和儿子续成出版（1774年）。此外，他还曾参加编著《历象考成》、《历象考成后编》和《仪象考成》等重要天文学著作，并曾两次亲赴新疆地区测绘地图，在天文学和地图测绘学等方面作出了杰出的贡献。
清代关于无穷级数的研究是一个相当活跃的领域。明安图之后，董祐诚（1791—1823）在《割圆连比例图解》中又采用不同方法得到了关于弧、弦、矢三者关系的四个公式，简化了明安图的结果。项名达（1789—1850）在《象数一原》中，又把这四个公式简化成两个公式。项名达还和戴煦（1805—1860）共同发现了指数为有理数的二项式定理。在《外切密率》中，戴煦首先得到了正切、余切、正割、余割、反正切、反正割等三角函数和反三角函数的幂级数展开式。李善兰也进行了这方面的研究，但用的是他所发明的“尖锥术”。徐有壬（1800—1860）的《测圆密率》和《造表简法》，则对于清代数学家关于三角函数展开式的研究成果，作了较为全面的总结。此外，戴煦的《对数简法》和李善兰的《对数探源》，给出了自然对数的幂级数展开式。由此可见，清代数学家已经基本上解决了初等函数的幂级数展开式问题。虽然这些成果在时间上大多晚于西方数学家的同类成果，但这都是中国数学家刻苦
1!3
x
3
·!521
2
7
5
x
3!7··21
2
28!
(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:252)(cid:253)(cid:254)---(cid:236)(cid:237)(cid:238)(cid:252)(cid:253)(cid:254)钻研独立作出的贡献，并且其中用到的数学方法已经有了微积分思想的萌芽，从而为顺利接受解析几何和微积分学等近代数学知识，实现由传统数学向近代数学的演变，奠定了重要的思想基础。
这一时期关于椭圆的研究也有了新进展。项名达的《椭圆求周术》及戴
煦为之补作的图解，提出了正确的椭圆周长公式：2324
··5··26
2122
122
=
a
(1
2
e
4
e
p
2
6
e
…，)
·3·242
2122b
2
a
其中为椭圆离心率，e
2e=
2
a
，、分别为椭圆长、短半轴，其所用
ab
方法符合椭圆积分法则。并据此推导出圆周率倒数公式：
1
=
12
1(
122
2122
·3·24
2122
··5··26
2324
…．
)
项、戴的这项工作是中国数学家关于二次曲线研究的最早的重要成果。
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