考察一在数学认识中和在哲学认识中达到确定性的方式的一般比较
第一节数学以综合的方式、而哲学则以分析的方式达到其全部定义
人们可以沿着两条道路达到任何一个普遍概念，或者是通过概念的任意结合，或者是通过对借助解析而变得明晰起来的那种认识的抽象。除了以第一种方式外，数学从未以其他的方式来构造定义。例如，人们可以任意设想围成一个平面的四条直线，使相对的两条边不平行，称它为不规则四边形。我所解释的概念并不是在定义之前就给定的，相反，它最初是借助定义才产生的。若不然，一个圆锥就可以意味着随便任何东西；在数学中，它产生自绕一条边旋转的直角三角形的任意表象。在这里，以及在所有其他例子中，解释明显地都是借助于综合产生的。
世俗智慧的定义则完全是另外一回事。在这里，关于一个事物的概念是已经给定的，但却是模糊不清的，或者是不够明确的。我必须对它进行解析，把分离开来的各种标志与给定的概念一起在各种各样的场合里进行比较，使这一抽象的思想变得详尽和明确起来。例如，每一个人都有一个关于时间的概念，这个概念应该得到解释。我必须在各种各样的关系中考察这一观念，以便通过解析发现它的种种标志，必须把各种不同的抽象标志联结起来，无论它们是给出一个充足的概念并且彼此结合在一起，还是一个标志并非作为部分把另一个标志包含在自身之内。如果我要在此试图以综合的方式得出一个时间定义，那么，倘若这个概念恰好就是充分表达了给予我们的理念的那个概念，结果该会是怎样一种幸运的巧合啊！
不过，人们会说，哲学家有时也以综合的方式作出解释，数学家也以分析的方式作出解释，例如，当哲学家以任意的方式设想一个具有理性能力的实体并称之为精神的时候。但我的回答是：对一个词义的诸如此类的规定绝对不是哲学的定义，相反，如果它们也可以叫做解释，那也只不过是语法上的解释罢了。因为为了说出我想赋予一个任意的概念一个什么样的名字，根本用不着哲学。莱布尼茨设想了一种除了模糊的表象之外一无所有的简单实体，并且称之为沉睡的单子。他在这里并没有解释这种单子，而是设想它。因为单子的概念并不是给予他的，而是由他创造的。相比之下，数学家有时也以分析的方式作出解释，我承认这一点，但这在任何时候都是一种错误。沃尔夫[1]就是这样以哲学的眼光衡量几何学中的相似性的，为的是也把几何学中出现的相似性归摄在相似性的一般概念之下。但是他始终未能成功。因为当我设想周边的直线围成的角彼此相等、其包含的各边比例相同的图形时，这永远都可以被看做是图形相似性的定义。对于几何学家来说，问题根本不在于相似性自身的一般定义。当几何学家偶尔由于一种被错误理解的职责而作出这样的分析性解释时，事实上在他那里却没有从中推论出任何东西，或者他的下一步推论也构成了数学的定义。对于数学来说，这是一种幸运。若不然，这门科学就会和世俗智慧一样陷入不幸的争吵。
数学家所涉及的是常常还可以进行哲学解释的概念，例如空间概念。不过，他根据自己清晰的和一般的表象而认为这样一种概念是给定的。有时，哲学解释是从其他科学出发被给予他的，尤其是在应用数学中，例如对流体的解释。不过这样一来，诸如此类的定义就不是在数学中产生的，而只是在数学中使用的。对给定的含糊不清的概念进行解析，使它们变得详尽和明确起来，这是世俗智慧的事情。而数学的事情则是把量的各种给定的清晰可靠的概念联结起来并加以比较，以便看一看可以从中推论出什么。
第二节数学在其解析、证明和推论中借助具体的符号考察一般，而世俗智慧则借助抽象的符号考察一般
由于我们在此仅仅把我们的命题当做从经验得出的直接结论，因此，鉴于眼下这个命题，我首先诉诸算术，不仅是关于不定量的一般算术，而且是关于数字的算术。在后者中，量的比例被规定为单位。在这两种算术中，首先是事物的符号以对事物的增加或减少、事物的比例等等的特别表示取代了事物自身，然后是用符号按照简易可靠的规则通过移位、联结或者扣除以及一些变化来进行演算，以至于被表示的事物自身在此完全被从思想中排除，直到最后在结束时，符号化的结论的含义才被破译出来。其次，在几何学中，例如为了认识到所有圆的性质，人们就画出一个圆。在这个圆中，人们不是画出所有可能在这个圆内相交的直线，而是只画出两条。人们证明出这两条直线的比例，并就这两条直线来具体地考察在所有圆中相交的直线之比例的一般规则。
如果把世俗智慧的方法与此进行比较，那么，世俗智慧的方法就是与此迥然不同的。哲学考察的符号无非就是语词。它们既不能在其复合中表示构成语词所指示的整个理念的分概念，也不能在其联结中表示哲学思想的比例。因此，人们在以这类知识进行的任何反思中，都必须清晰地想到事物本身，并且被迫抽象地想象一般，而不能使用这种重要的简化，让对个别符号的研究取代对事物自身的一般概念的研究。例如，如果几何学家想阐明空间是无限可分的，他就在两条平行线之间画一条垂直线，并从这两条平行线的某一条的一个点上引出其他与这两条平行线相交的直线。借助这一符号，他就确凿无疑地认识到，这种分割必然是没有止境的。与此相反，如果哲学家想阐明每一个物体都是由一些简单的实体构成的，那么，他将首先使自己确信，每一个物体在根本上都是由一些实体构成的一个整体；对这些实体来说，复合只是一个偶然的状态，没有这一状态它们照样能够存在；因而一个物体中的任何复合都可以在思想中被取消，但构成该物体的那些实体依然存在；由于当所有的复合都完全被取消时，一个复合体还剩下的东西是简单的，所以，物体必然是由一些简单的实体构成的。在这里，无论是图形还是可见的符号，还是它们的比例，都不能表达思想，也没有任何按照规则进行的符号移位能够取代抽象的考察，使人们在这一过程中用符号的更为清晰、更为简易的表象取代事物自身的表象，相反，人们必须抽象地思考一般。
第三节在数学中，只有少数无法分解的概念和无法证明的命题；而在哲学中，这样的东西却是数不胜数
量本身、单位、集合、空间等概念至少在数学中是无法分解的，也就是说，它们的分解和解释根本不是这门科学的事情。我清楚地知道，有些几何学家想混淆各门科学的界限，偶尔在量的学说中进行哲学思维，因此，他们还试图解释诸如此类的概念，尽管定义在这种场合根本没有数学的结果。但毋庸置疑，任何一个概念，如果它无论通常能否得到解释，在这门科学中至少不需要解释，则就一个学科来说都是无法分解的。而且我曾经说过，在数学中只有少数这样的概念。但是，我还要进一步断言，本来，即在通过解析这些概念来对它们作出的解释属于数学知识的意义上，它们根本就不能在数学中出现，即使对它们的解释通常是可能的。因为数学绝不是通过解析来解释一个给定的概念，而是通过任意的结合来解释一个客体，该客体的思想同样是由此才成为可能的。
如果把世俗智慧与此进行比较，将会发现这里有什么样的区别？在哲学的所有学科中，尤其是在形而上学中，任何一种能够进行的解析也都是必要的，因为无论是认识的明晰性还是可靠结论的可能性都取决于此。然而，人们马上就会事先觉察到，在解析中不可避免地要遇到一些本来就无法分解或者对我们来说无法分解的概念；而由于关于如此巨大的杂多性的一般认识不可能由少数基本概念复合而成，这样的无法分解的概念竟是异乎寻常地多。因此，许多概念几乎根本不能被分解，例如一个表象的概念、并列存在或者相继存在；而另外一些概念只能部分地被分解，例如关于空间、时间的概念，关于人的灵魂的各种各样情感，崇高、美、厌恶等等情感的概念；没有对这些情感的概念的精确认识和分解，就不能充分地认识我们的本性的动机；尽管如此，一个精细的有心人还是觉察到，解析是远远不够的。我承认，关于快乐和不快、渴望和憎恶以及无数诸如此类的东西的解释，绝不是借助充分的分解所提供的，对于这种不可分解性，我并不感到惊奇。因为鉴于概念的品种如此众多，必须以各种不同的基本概念为基础。一些人所犯的错误，即把所有诸如此类的知识都当做可以全部分解为少数几个简单概念的知识，他们与古代的自然学者所犯的错误是相似的，后者认为自然界的所有物质都是由所谓的四元素构成的，这样的思想已经被更精确的考察所扬弃。
此外在数学中，只有少数几个无法证明的命题作为基础，即使它们在其他地方是可以得到证明的，但在这门科学中是被视为直接确定无疑的。例如：整体等于所有部分之和；两点间只能有一条直线，等等。数学家习惯于把诸如此类的原则置于其各个学科的开端，以便人们可以觉察到，除了如此显而易见的命题之外，其他任何命题都不被径直当做真的而成为前提，其余所有的一切都是严格地被证明的。
如果把世俗智慧，尤其是形而上学与此进行比较，那么，我真想列出一个无法证明的命题表。它们在这些科学中都凭借其全部延伸而构成了基础。这无疑是一个庞大的计划；不过，搜寻这些无法证明的基本真理是更高的哲学最重要的任务，只要这样一种认识还在扩展，这些发现就决不会终止。因为无论是什么样的客体，知性在它身上首先并且直接觉察到的那些标志，也就是同样多的无法证明的命题的素材。这些命题也构成了从中可以发现定义的基础。在打算解释什么是空间之前，我清楚地认识到，由于这个概念对我来说是给定的，必须首先通过解析搜寻出首先并且直接在其中被想到的那些标志。接着我觉察到，这中间有许多东西是彼此外在的，这种杂多并不是实体，因为我想认识的并不是空间中的事物，而是空间本身，空间只能有三个维度，等等。诸如此类的命题可以通过为直观地认识它们而对它们进行的具体考察来阐明，然而它们决不能被证明。其原因在于，既然它们构成了当我开始思考我的客体时所仅能有的最初的和最简单的思想，证明又能从何处着手呢？在数学中，定义是我关于被解释的客体所能有的最初的思想，这是因为我的客体概念只是通过解释才产生的。在此，把它们看做是可以证明的，则完全是无稽之谈。在世俗智慧中，我要解释的事物的概念对我来说是给定的，在这个概念中直接并且首先被觉察的东西必然被用做无法证明的基本判断。因为在我还没有事物的完整清晰的概念，而是首先寻找它的时候，它也就根本不可能从这个概念出发得到证明，使它事实上被用来由此产生这种清晰的认识和定义。所以我必须在所有的哲学解释之前拥有最初的基本判断，在此只会出现这样一种错误，即我把还是一种派生的东西看做是一个原初的标志。在下面的考察中，将会出现消除这种疑问的事物。
第四节数学的客体是简易的、单纯的，而哲学的客体却是困难的、复杂的
由于量构成了数学的对象，并且在考察量时只注意某种东西被设定多少次，所以显而易见的是，这种知识必然是建立在量的一般学说的少数非常清楚明白的基本学说之上的（这本来就是一般的算术）。人们在此还可以看到，量的增加和减少、量在方根学说中分解成相同的元素，这都产生自少数简单的基本概念。关于空间的少数几个基本概念促成了量的这种一般认识在几何学中的运用。例如，人们可以把一个在自身中包含着异常大的量的算术对象的易把握性与一个人们只能尝试取得少许认识的哲学理念的难理解性加以对照，以便使自己相信这一点。百亿亿与单一的比例已被清晰地理解，但哲学至今尚不能由其单一，即由其简单的、众所周知的概念出发来使自由概念变得可以理解。这也就是说，构成哲学真正客体的质的种类多至无限，区分它们要大费手脚。同样，通过解析来分解复杂的知识也比通过综合联结给定的简单知识并如此得出结论要远为困难。我知道，有许多人认为世俗智慧与高等数学相比是很容易的。然而，这些人把所有在使用这一标题的书中所记载的东西都称之为世俗智慧。区别是通过结果彰显出来的。哲学认识大部分都命中注定是意见，就像其光芒瞬间即逝的流星一样。它们消失不见了，但数学却长存不衰。形而上学无疑是人类所有知识中最困难的一种，然而还从未有一种写出来的形而上学。科学院的选题表明，还是有理由探索人们打算尝试形而上学所要走的道路。
注释：
[1]《一般数学基础》，第Ⅰ卷，96页（几何学基础前言），哈勒，1717。——科学院版编者注