系统的形式化程度高低不一

一个系统的形式化程度有高有低，有的系统形式化程度特别高，欧几里得几何肯定是一个，你们学过的数理逻辑、符号逻辑也是。我们现在讲的，是语义推论。逻辑和事实，语义知识和事实知识，分析命题和综合命题，还有道理和实际情况，它们是相似的对子，这些对子不尽相同，我们可以从很多方面上讲讲怎么个不同。眼下我要说的是，如果一厢是纯形式的逻辑，一厢是一次性的事实，像昨天晚上延庆下了场雪这样的事实，那么，这边是逻辑，那边是事实，分得很开。但是语义和事实不是这样截然分开的，雪是白的是个事实，但它同时也包含逻辑——能从雪推出是白的。

总的来说，数学的形式化程度当然高，不过数学里面也分。比起算术系统，代数的形式化程度更高，a=m+n，b=p+q。有些学生，学算术的时候还明白，到了学代数的时候，怎么都弄不明白。毕竟，1、2、3这些数字，坐落在我们的经验里，所有孩子都明白，比较大的数字，可以从这些小数字延伸出来。可是a啊b啊，我们平常不用这种方式来思考，他就要问：a到底是几啊？老师说，你别管a是几，你知道a=m+n就行了，他就要问：那m是几啊？掌握了一个形式化很高的系统，即使你不知道一个符号是什么意思，你也可以进行推论，希尔伯特就是这个意思，最后，到了图灵机那里，它啥都不用知道，它照样推论，比咱们人类推论得还快、还可靠。

人们常常只把这类形式化程度很高的系统称为形式系统。这没问题，但只要是个系统，就有形式联系，在这个宽泛的意义上，系统都是形式系统。生理学是这样一个系统，经济学也是这样一个系统。反正在所有这些系统中，我们最熟悉的就是语言系统。当然了，跟算术、代数比，语言系统的形式化程度没那么高：一方面，语词之间有形式联系；另一方面，语词还需要感知支持，需要同语族人的共同经验支持，没有这种共同经验，人与人之间是无法交流的。

如果你说的逻辑是形式化程度很高的逻辑，那么不能说雪跟白有逻辑联系。不过我要说，我们不是在数学课上、逻辑课上开始学习逻辑的，我们在语文课上开始学习逻辑，不，还要早，一开始学习语言就开始学习逻辑。我们学大小、多少、上下、来去，我们就在学习逻辑，学“雪”这个词，学“白”这个词，就在学习逻辑。家长和老师教给你哪句话说得通、哪句话说不通，哪个搭配是合适的、哪个搭配是不合适的，他们教给你主谓宾，他们在教这些的时候，无论是在教语词还是在教语法，他们都已经在教给你逻辑。大家都记得逻辑这个词Logik，Logik来自logos，logos来自λόγος、λέγειν，λέγειν就是说话。你会说话了你就掌握了一套逻辑，而这套逻辑要细密得多，比你在形式逻辑课上学到的逻辑微妙得多。比如，在弗雷格逻辑里面，and和but被认为是同一个符号，我很丑但我很温柔，弗雷格说，这等于说我很丑而且很温柔，任何一个说汉语的都会觉得第二句话不成话，但是在某一种逻辑系统中，它们是等价的。像but和and这样的区别，我们三言两语就说清楚了，但是，很多很多语词的微妙联系和区别，只有说母语的人才能掌握，你对母语有感觉，你在每天的生活和实践中体会这种逻辑，练习这种逻辑。这是广义上的逻辑，是说母语的人——假设你不是说得特别烂的话——了解的逻辑。当然，你了解了不一定能说清楚，在语文课上老师把它说得更清楚。

有人说，中国人的思维不怎么有逻辑——现在没人这么说了，现在中国强大了，谁强大谁就有逻辑——一个理据是，亚里士多德在2500年前就给人上逻辑课，中国2000多年来也没有逻辑课。当然，墨子有逻辑学，但这正好是一个反证，墨子好好的逻辑就没传下来。中国没有发展出形式逻辑学科，这的确是中国学术的一个缺陷，但是直接跳到中国人不讲逻辑就过头了，因为中国人还是学语文的，而且特别讲究语文，事实上可能比谁都讲究语文。

A大于B，B大于C，然后A大于C，这是你学汉语的时候学会的，只不过在逻辑学课本里它用更严格的方式表示出来。说严格不太对，不如费点劲说用更形式化的方式表示出来。形式逻辑教我们的严格是一种严格，语文课教我们的严格是另一种严格。我语文没学好，讲什么都邋邋遢遢的，说不到点子上，班上语文好的同学，说什么都那么到位，切中肯綮，这也是一种严格，这种严格性，你从逻辑书上学不来。形式逻辑的严格性则是要把事情尽可能带到明确的是或者否。