第一章对负值概念的一般解释
相互对立的东西是：其中一个取消通过另一个而设定的东西。这种对立是双重的；要么是由于矛盾而是逻辑的，要么是实际的，即没有矛盾。
第一种对立，即逻辑上的对立，是人们迄今为止惟一瞩目的对立。它在于对同一事物同时肯定和否定某种东西。这种逻辑结合的结果，就像矛盾律所说的那样，是什么也不是（nihilnegativumirrepraesentabile［否定的、不可想象的无］）。一个在运动中的物体是某种东西，一个不在运动中的物体也是某种东西（cogitabile［可以设想的东西］）；然而，一个在运动中并在同一个理解里面同时不在运动中的物体，就什么也不是。
第二种对立，即实际的对立，是这样一种对立：此时一个事物的两个谓词相互对立，但并不通过矛盾律。在这里，一个取消了通过另一个而设定的那种东西；但结果却是某种东西（cogitabile）。一个物体朝向某个地方的运动力和同一个物体朝相反方向的同等努力并不相互矛盾，它们作为谓词在一个物体中同时是可能的。它们的结果就是静止，而静止是某种东西（repraesentabile［可以想象的东西］）。尽管如此，这仍然是一种真正的对立。因为通过一种倾向如果单独存在就可以设定的东西，通过另一种倾向被取消了，而两种倾向都是同一个事物的真实谓词，它们同时属于这个事物。这样的结果也是无，但却是与矛盾不同意义上的无（nihilprivativum,repraesentabile［欠缺的无、可以想象的无］）。我们后面要把这种无称之为零，它的意思与通常在世俗智者那里使用的否定（negatio）、阙失、不在场的意思是一回事，只是有一个更详细的规定，下面将继续出现。
就逻辑对立而言，仅仅关注一个事物的谓词相互取消或者通过矛盾取消其结果的那种关系。对于二者中哪一个是真正肯定的（realitas［实在性］），哪一个是真正否定的（negatio［否定］），人们根本不关心。例如，在同一个理解中，黑暗的与不黑暗的同时在同一个主体中是一个矛盾。前一个谓词是逻辑上肯定的，另一个则是逻辑上否定的，尽管前者在形而上学的意义上是一个否定。实际的对立也建立在同一个事物的两个谓词彼此的关系上；但是，这种关系属于截然不同的类型。通过两个谓词中的一个被肯定的东西并没有通过另一个谓词被否定；因为这是不可能的，相反，两个谓词A和B都是肯定的；只不过由于从每一个都分别得出结果a和b，但通过二者一起在一个主体中产生的结果就不是这一个，也不是另一个，因而结果是零。假定某人相对于另一个人有一笔债权A=100帝国塔勒，那么，这就是一笔同样大的收入的理由。但是，同一个他还有一笔债务B=100帝国塔勒，那么，这是他支出这么多的理由。两笔债加起来则是零的理由，也就是说，既不支出钱也不收入钱。很容易就可以看出，这个零是一个相对的无，因为只有某个结果是无，就像在这一事例中某项资金是无或者在上个事例中某个运动是无一样；与此相反，对于通过矛盾而取消来说，就绝对是无了。据此，nihilnegativum［否定的无］不能用零来表达，因为这个零并不包含矛盾。某个运动不存在是可以设想的，但它同时存在又不存在却是不可设想的。
数学家们利用这种实际对立的概念来表达自己的值；为了显示这些值，他们用“+”和“-”来标出它们。由于每一个这样的对立都是相互的，因此可以很容易地看出，一个值要么完全要么部分地取消另一个值，用不着前面有“+”的值与前面有“-”的值有什么区别。一艘船从葡萄牙出发前往巴西。人们用“+”标志东风时航行的路程，用“-”标志西风时退回的路程。数字自身则意味着多少里。这样，7天的行程就是+12+7-3-5+8=19，即向西行了19里。前面有“-”的值只是在它们要与前面有“+”的值加在一起的时候才把“-”作为对立的符号；但如果它们是与前面也有“-”的值结合，那么，这里就不再有对立了，因为对立是只有在“+”和“-”之间才遇到的逆关系。而由于减法是一种只有在对立的值相加时才发生的取消，所以很清楚，“-”本来不可能像通常认为的那样是减法的符号，而是“+”和“-”合起来才表示一种扣除。因此，-4-5=-9根本不是减法，而是同类的值的一种现实的增加和结合。但是，+9-5=4则意味着一种扣除，因为对立的符号暗示着一个值在另一个值中抵消与它相等的值。同样，符号“+”自身本来也不意味着加法，而是仅仅在前面有“+”的值要与另一个前面有或者设想有“+”的值结合时才意味着加法。但是，如果它与一个前面有“-”的值结合，那么，就只能借助对立来发生了，此时无论是符号“+”还是符号“-”都意味着减法，也就是说，一个值在另一个值中抵消与它相等的值，如-9+4=-5那样。因此，符号“-”在-9-4=-13的场合里并不意味着减法，而是和符号“+”在+9+4=+13的例子中一样意味着加法。因为无论如何，如果符号是同类的，则所标识的事物绝对必须加在一起，而如果符号是不同的，则它们只能通过一种对立，即借助减法才能结合。据此，这两个符号在值的科学中只是被用于区分彼此对立、也就是说在结合时彼此全部或者部分抵消的值，以便人们首先从中认识这一逆关系，其次在把一个值从另一个理应扣除它的值中扣除之后，人们可以知道结果属于这两个值中的哪一个。这样，在前面提到的事例中，如果用“-”标识东风时的行程，用“+”标识西风时的行程，人们得出的结果将是一回事，只不过结果用“-”来作为符号罢了。
由此产生了数学的负值概念。如果一个值只能通过对立才能与另一个值相结合，也就是说，一个值将在另一个值中抵消与它相等的值，那么，它对另一个值而言就是负的。这当然是一种逆关系，而彼此对立的值也彼此抵消一个相等的值，以至于人们本来就不可以称任何值为绝对负的，而是必须说，+a和-a中的一个是另一个的负值；然而，由于它总是在意识中附加上的，所以数学家们就在某个时候接受了这样的用法，称前面有“-”的值为负值，此时人们仍千万不可忽视，这种称谓并不表示一类事物的内在性质，而是表示这种逆关系，即同某些别的用“+”标识的值在一种对立中结合。
为了能够从这个概念得出对哲学来说本来就是对象的东西，而不必特别关注值，我们首先说明，在这一概念中包含着一种对立，就是我们上面称之为实际对立的。+8是资金，-8是负债，二者都属于一个人，这并不自相矛盾。然而，一个抵消掉另一个所设定的等值，结果就是零。据此，我将称债务为负的资金。但我并不把这理解为，它们是对资金的否定，或者仅仅是对资金的否定；因为那样的话，它们自己就以零为符号了，而这一资金和债务加起来将得出财产的价值是8+0=8，但这是错误的；相反，债务是资金减少的肯定性理由。由于这整个称谓在任何时候都仅仅表示某些事物与另一些事物的关系，没有这种关系这个概念就马上停用，所以，设想事物的一个特别种类并将它称之为负的事物，这将是荒唐无稽的；因为即便是数学家们负值的表述也不是足够精确的。负的事物将完全意味着否定（negationes），但这根本不是我们想确定的概念。毋宁说，我们已经充分地说明了构成这整个概念并存在于实际对立中的逆关系。为了使人马上在表述中认识到，对立物中的一个并不是另一个的矛盾的对立面，如果后者是某种肯定的东西，那么前者也并不是后者的单纯否定，而是像我们马上就可以看到的那样，是作为某种肯定的东西与它相对立：这样，我们将按照数学家们的方法，称下行为负的上行，称下落为负的上升，称返回为负的前行，以便立刻从表述中说明，例如下落并不单纯像非a与a那样与上升相区别，而是像上升一样是肯定的，只不过与它在结合时包含了一个否定的理由罢了。当然，显而易见的是，由于这里的一切都取决于逆关系，所以我就像能够称上行为负的下行一样，也可以称下行为负的上行；同样，就像债务是负的资金一样，资金也是负的债务。然而，如果人们想标识出其实际的对立面的话，把负的名称给予在任何情况下都特别关注的东西，要更为适合一些。例如，称债务为负的资金就比倒过来更为得体，尽管在逆关系自身中没有区别，而是仅仅在逆关系的结果与其他目的的关系中才有区别。我只是还想提请注意，我有时使用这一表述，即一个事物是另一个事物的负面（事物）。例如，上行的负面是下行，由此我并不想把它理解为对另一个事物的否定，而是理解为与另一个事物处于实际对立中的东西。
对于这种实际的对立来说，如下的定理可以作为一个基本的规则。只有当两个作为肯定性理由的事物中的一个取消另一个的结果的时候，实际的对立才成立。如果运动力是一个肯定性理由，那么，只有当另一个运动力与它在结合中相互抵消结果的时候，一种实际的冲突才可能成立。以下的东西可以当做普遍的证明。第一，相互冲突的规定必须是在同一个主体中发现的。因为假设一个规定在一个事物中，另一个无论什么样的规定在另一个事物中，那么，从中就产生不了现实的对立。[1]第二，在实际对立中，对立的规定不能是另一个规定的矛盾对立面；因为那样的话，冲突就是逻辑上的，并且如上面所证明的是不可能的。第三，除了通过另一个规定所设定的东西，一个规定不能否定别的东西；因为在这里不存在对立。第四，当它们相互冲突的时候，它们不能两个都是否定的；因为那样的话，就不能通过任何一个来设定通过另一个被取消的东西。据此，在任何一个实际对立中，两个谓词都必须是肯定的，但在结合中两个结果在同一个主体中互相抵消。以这样的方式，一个被视为另一个的负面的两个事物就都被视为肯定的，只不过在一个主体中相结合时它们的结果是零。向西的行程与向东的行程一样是肯定性的运动，只不过对同一艘船来说，由此经过的路程完全或者部分地相互抵消了。
我并不想由此认为，好像这些实际对立的事物在此之外自身并不包含诸多否定似的。一艘向西运动的船，在这种情况下并不向东或者向南等等运动，它也不同时在所有的地方。有许多否定黏附在它的运动上。惟有无论在向东的运动中还是向西的运动中都是肯定性东西的，才是能够彼此实际地冲突、并且其结果是零的东西。
人们可以借助普遍的符号以如下方式说明同一种东西。所有真正的否定，从而也是可能的否定（因为对在主体中同时设定的东西的否定是不可能的），可以借助零来表达，而肯定则借助任意一个肯定的符号，但在同一个主体中的结合则借助“+”和“-”来表达。这里可以看出，A+0=A，A-0=A，0+0=0，0-0=0[2]，它们都不是对立，在任何一个里面都没有被设定的东西被取消。同样，A+A也不是取消，剩下来就只有一种情况了：A-A=0，也就是说，两个事物中的一个是另一个的负面，但两个都是A，都是真正肯定性的，然而一个却取消通过另一个所设定的东西，在此是借助符号“-”来表示的。
第二个规则本来是第一个的逆规则，它的表述是：在任何地方，如果有一个肯定的理由而结果仍然是零，那里就有一种实际的对立，也就是说，这个理由处在与另一个理由的结合中，而后者是前者的负面。如果一艘船在空荡荡的海面上现实地由东风推动，却不曾离开原地，至少离开得没有以风为原因那么远，则肯定有一道海流迎它而来。这在一般的意义上无非是说，对一个肯定性理由的结果的取消，在任何时候也都要求一个肯定性的理由。如果存在着某个结果b的任意一个理由，那么，除非-b的一个理由，即是说某种真正肯定性的、与前者对立的东西的一个理由存在，b-b=0，否则结果永远不会是0。如果某人的遗产包括10000帝国塔勒，那么，构成遗产的就不仅仅是6000帝国塔勒，除非是10000-4000=6000，即4000塔勒的债务或者其他开支与此相关。下面的内容对说明这些规律是多有助益的。
我对这一部分还要作如下的说明以作为结束。如果否定是一种实际对立的结果，那么我想把它称之为黜夺（privatio）；但如果它不是从这样一种对立产生的，则任何一个否定在此都应当叫做阙失（defectus,absentia）。后者并不要求任何肯定性理由，而只要求肯定性理由的阙失；但前者却有一个真正的肯定理由和一个同样大的对立的理由。静止在一个物体中要么仅仅是一种阙失，即在没有运动力存在的情况下的对运动的一种否定；要么是一种黜夺，即在可以发现运动力的情况下结果亦即运动却被一个对立的力取消。
注释：
[1]我们后面还将讨论一种潜在的对立。
[2]人们在此会想到，0-A也是一种情况，此处这种情况被遗漏了。然而，这种情况在哲学意义上是不可能的；因为永远不能从无中感知到某种肯定的东西。如果数学中这一表述在运用上是正确的，那么，这是因为无论是对于借助其他值而增加还是对于借助其他值而减少来说，零都丝毫不改变某种东西。A+0-A还总是A-A，因而零是完全多余的。所以，由此借来的思想，好像负值比无更少似的，是没有意义的无稽之谈。