附錄一：本書附圖
本附錄供喜歡看圖，不是看文字，以了解非線性的讀者參考，而且只供他們參考。
非線性與少即是多（以及普羅克拉斯提斯之床）
圖十九
圖十九 這張圖解釋了非線性反應和「少即是多」的觀念。當劑量增加到某一點之上，利益就會反轉。我們見到呈現非線性的每一樣東西不是凸性、凹性，就是如這張圖所示，兩者兼而有之。這張圖也顯示，在非線性之下，減量無法達成所要的結果：普羅克拉斯提斯之床說的「對你有好處」或者「壞處」，遭到嚴重的扭曲。
這張圖也顯示為何從修補而來的試探啟發法很重要，因為它們不會將你帶進危險區—言詞和敘事卻會。請注意「多即是多」區如何呈現凸性，意思是說起初的利益加速增加（以黎凡特的阿拉伯語來說，超過飽和的區塊有個名稱：「增多卻好像減少」）。
最後，這張圖顯示為何競爭性的「精明」（而不是偽裝成精明的複雜），相較於實務工作者渴望最適化的簡單是有害的。
脆弱性移轉定理：
請注意脆弱性移轉定理，
凸性暴露（在某個範圍內）←→（在某個點之下）喜歡波動
（波動和混亂聚落中的其他成員），以及
凹性暴露←→不喜歡波動
脆弱性圖示
在時間系列空間中
圖二十
圖二十一
圖二十 隨著時間流逝而呈現的兩種脆弱性。這是具有代表性的系列。橫軸表示時間，縱軸表示變異。這可用於任何東西：健康指標、財富的變動、你的快樂等等。我們可以看到大部分時候，利益和變異很小（或者沒有），偶爾出現很大的不利結果。不確定可以造成重擊。請注意損失隨時可能發生，並且超越之前累積的利得。第二型（左圖）和第一型（右圖）的不同，在於第二型並沒有從不確定得到很大的正效益，而第一型有。
圖二十一 只是強固而已（沒有反脆弱性）（左圖）：隨著時間的行進，變異很小或者沒有。不曾出現大變異。反脆弱系統（右圖）：不確定帶來的利益遠高於造成的傷害—和圖二十的第一圖恰好相反。
用機率來看
圖二十二
圖二十二 橫軸代表結果，縱軸代表它們的機率（亦即它們發生的頻率）。強固：正結果和負結果都很小。脆弱（第一型，非常少見）：可以帶來很大的負結果和很大的正結果。為何少見？在經驗上，對稱非常少見，可是所有的統計分布往往用它來簡化。脆弱（第二型）：我們見到很不可能發生的大下檔損失（經常隱藏起來且為人忽視）、小上檔利益。發生嚴重不利結果（左）的可能性，遠高於發生非常有利的結果，因為左邊比右邊還要厚。反脆弱性：大上檔利益、小下檔損失。有可能出現很大的有利結果，很大的不利結果比較少發生（如果不是不可能發生的話）。出現有利結果的右「尾」比左尾要大。
表九 四類不同的報償
分布的左尾 分布的右尾 情況
薄 厚 反脆弱
厚 厚 脆弱（第一型）（非常少見）
厚 薄 脆弱（第二型）
薄 薄 強固
脆弱性有左尾，而且很重要的一點是：因此對機率分布左邊的混亂相當敏感。
圖二十三
圖二十三 脆弱性的定義（左圖）：陰影區是脆弱性，來源變數（source variable）的參數如有任何變化—主要是波動或者某樣東西稍微調諧—會導致指標變數（target variable）Ｋ水準之下的左尾質量增加。我們將所有這些變動納入s-，註釋會再說明（我在那裡將方程式隱藏起來）。
至於不是完全對稱的反脆弱性的定義（右圖），是右尾相同的鏡像加上左尾的強固性。擾動的參數是s+。
雖然我們無法非常精確地指定機率分布，但關鍵是：由於Taleb and Douady (2012)的「移轉定理」（transfer theorem），我們可以透過試探啟發法去探討反應。換句話說，我們不需要了解各種事件的未來機率，但能夠研判這些事件的脆弱性。
時間系列中的槓鈴轉換
圖二十四
圖二十五
圖二十四 時間系列空間中看到的槓鈴。底部報償受到限制，但保有上檔利益。
槓鈴（凸性轉換）和它們在機率空間中的特質
槓鈴觀念的圖示。
圖二十五 第一例是對稱情況。將不確定注入系統，會使我們從一種鐘形—各種可能結果較少的第一種—移動到第二種，也就是高峰比較低，但結果分布得比較廣的鐘形。所以這會導致正驚訝和負驚訝都增加，也就是正「黑天鵝」和負「黑天鵝」都增加。
圖二十六
圖二十六 第二例（左）：脆弱。利得有限，損失較大。提高系統中的不確定，會使大都是（有時是只有）負結果的情況惡化，也就是只見到負「黑天鵝」。第三例（右）：反脆弱。提高系統中的隨機性和不確定，會提高非常有利的結果發生的機率。因此擴增預期報償。這張圖顯示從數學上看，「發現」正好像是反飛機延誤。
胖子東尼「不是同一回素」的技術版本，或者混淆事件和暴露在事件中受到的影響
本註釋也解釋了一種「凸性轉換」。
f(x)暴露在變數ｘ中。f(x)可以稱為「來自ｘ的報償」、「暴露於ｘ」，甚至「來自ｘ的報償之效用」，在f中引進一個效用函數。ｘ可以是任何東西。
例如：ｘ是某地區的地震強度，f(x)是因地震而死亡的人數。我們可以看出f(x)比ｘ容易預測（如果我們強迫人們遠離某個特定地區，或者依某些標準興建房屋等）。
例：某人從ｘ公尺高的地方把我推下去，f(x)是我跌到地面後身體狀況的量數。顯然我無法預測ｘ（誰會推我），但能預測f(x)。
例如：ｘ是明天中午紐約市的汽車數目，f(x)是某代理商從Ａ點到Ｂ點所花的交通時間。f(x)比ｘ易預測（因此能夠決定要不要搭地鐵，或甚至最好走路）。
有些人在談f(x)時，以為他們是在談ｘ。這是混淆事件和暴露程度的問題。亞里士多德所犯的錯誤，在機率哲學中幾乎到處看得到（例如哈金〔Hacking〕）。
一個人可以在不了解ｘ的情形下，透過f(x)的凸性，對ｘ呈現反脆弱性。
「在你不了解的世界中做什麼事？」這個問題的答案很簡單：設法處理f(x)的不理想狀態。
修正f(x)通常比更深入了解ｘ容易（換句話說，設法做好強固，而不是去預測「黑天鵝」）。
例如：如果我在市場上買了保險產品，價格下跌二○％以上，那麼f(x)會和ｘ的機率分布低於二○％的部分無關，而且不受它的尺度參數影響（這是槓鈴的一個例子）。
圖二十七
圖二十七 凸性轉換（f(x)是ｘ的凸函數）。ｘ和暴露於ｘ有差別。第二個圖沒有下檔損失風險。關鍵在於修正f(x)，使分布左邊的ｘ特質盡可能不必知道。這個運算稱作凸性轉換，這裡的暱稱是「槓鈴」。
綠木材謬誤：當一個人將f(x)和非線性不同的另一個函數g(x)混淆。
更技術性的說明：如果一個人對x呈現反脆弱性，那麼x的變異（或者波動，或者其他的變異量數）對f(x)有利，因為分布偏移之後，平均數取決於變異數，而當右偏，它們的期望值會隨著變異數而增加（例如對數常態分布的平均數包含＋½σ2的一項）。
此外，f(x)的機率分布顯著不同於x的機率分布，尤其是在非線性存在的情形下。
當f(x)是單調的凸性（凹性），f(x)為右（左）偏。
當f(x)遞增，而且在左邊呈凸性，然後在右邊呈凹性，那麼f(x)的機率分布尾部比ｘ的機率分布尾部要薄。舉例來說，在康尼曼—特佛斯基的前景理論（prospect theory）中，所謂的財富變動的效用，比財富的效用要「強固」。
為何報償比機率重要（技術性）：p(x)是密度、期望，也就是∫ f(x)p(x)dx，將愈來愈依賴ｆ，而不是ｐ，而且ｆ的非線性程度愈高，它會愈依賴ｆ，而不是ｐ。
第四象限（TALEB, 2009）
觀念在於（厚尾領域中的）尾端事件是無法計算的，但我們可以評估我們對問題的暴露程度。假設f(x)是個遞增函數，表十將這個觀念和第四象限（Fourth Quadrant）的概念連結起來。
表十
Ｘ的薄尾分布 Ｘ的厚尾分布
f(x)因為減除極端結果而「緩和」，亦即凸性—凹性 非常強固的結果 相當強固的結果
f(x)凹性—凸性，使遠端結果惡化 （類似於）強固的結果 第四象限
脆弱（如果f(x)是凹性）或者反脆弱
局部和全盤凸性（技術性）
沒有什麼東西的性質屬於開放式—死亡是一個單位的最大結果。因此各種事物最後是在一端呈現凸性，在另一端呈現凹性。
事實上，生物承受的傷害會在某個點達到最大。我們來溫習第十八章大石頭和小石子的凹形：擴大範圍，我們見到有界的傷害，會在某個地方帶來凸性。凹性本來居於主宰地位，但屬局部性質。圖二十八呈現大石頭和小石子故事的連續畫面。
圖二十八
圖二十八 左圖呈現第十八章大石頭和小石子故事中範圍比較寬的畫面。到了某一點，到達最大的傷害之後，凹性會轉成凸性。右圖顯示強反脆弱性，上限不知在哪裡（進入極端世界）。這些報償只在經濟變數才有，例如書籍的銷售量，或者沒有界限或近乎沒有界限的事情。我無法在大自然找到這種效應。
圖二十九
圖二十九 弱反脆弱性（平常世界），被最大值所界定。通常存在於大自然。
奇特的非線性（非常技術性）
接下來兩種非線性，幾乎不曾在經濟變數以外的地方看過；尤其是衍生性金融商品所造成者。
圖三十
圖三十 左圖畫出一個凹性-凸性遞增函數，這和我們在大自然中看到的有界劑量反應函數剛好相反。這帶出了第二型，脆弱（非常厚的尾部）。右圖畫出最危險的一種函數：假凸性。局部反脆弱性，全盤脆弱。
醫療非線性以及它們的機率對應（第二十一章與二十二章）
圖三十一
圖三十一 醫療傷害：在機率空間看到利益小和「黑天鵝」式損失大的情況。當可以確認的利得（例如避免小小的不舒服或輕微的感染）很小，但是暴露在無形的大副作用（例如死亡）延後出現的「黑天鵝」中，就會發生醫療傷害。從醫療而來的這些凹性利益，就像銷售一種金融選擇權（風險很大），只為立即得到一點小小的利益，同時宣稱「有證據顯示不會造成傷害」。
簡言之，對健康的人來說，造成災難性結果的機率小（因為看不到，以及未曾考慮而忽視它），獲得溫和利益的機率很高。
圖三十二
圖三十三
圖三十二 生物的非線性。這種凹性—凸性形狀必然來自遞增（單調遞增，亦即永遠不會減少）和有界的任何東西，數值有最大和最小，也就是說，不會從任何一邊無止境延伸出去。在低水準，劑量反應呈現凸性（效果慢慢地愈來愈好）。再增加劑量，效果往往愈來愈差，或者開始造成傷害。任何東西太過於規律地消耗，也會有同樣的情形。這種圖必然適用於兩邊有界的任何情況（包括快樂），最小值和最大值（飽和）已知。
舉例來說，如果我們認為快樂和不快樂有最高水準，那麼左邊呈凸性和右邊呈凹性的這條曲線，一般形狀必然可用於快樂（用「財富」取代「劑量」，「快樂」取代「反應」）。康尼曼—特佛斯基的前景理論模型中的財富變動「效用」形狀類似，而這是他們經由實證發現的。
圖三十三 記得我們說過高血壓的例子。縱軸是治療的利益，橫軸是病情的嚴重性。箭頭指向機率性利得和機率性傷害相當的地方。病情嚴重性的函數以非線性的方式呈現，醫療傷害在兩平點消失。這表示當患者病重，分布會移向反脆弱（比較厚的右尾），治療利益大，可能的醫療傷害小，幾乎沒什麼好損失的。
請注意，如果你增加治療，便會到達從最高利益而來的凹性，但是這張圖並沒有畫出這塊區域—如果把圖放大，看起來會像上一張圖。
圖三十四
圖三十四 左圖顯示某個有機體的毒物興奮效應（和圖十九類似）：我們可以看到，隨著劑量增加，有個階段出現利益（起初呈現凸性），然後利益慢慢減緩，再加重劑量，便會進入傷害的階段（起初呈現凹性）；接著到了最大傷害的水準，曲線走平（超過某個點，有機體死亡，因此生物會有其界限和最糟情況已知等情況）。右圖是醫學教科書畫的錯誤毒物興奮效應圖，起初呈現凹性，一開始看起來像線性或者略微凹性。
反火雞問題
圖三十五
圖三十六
圖三十五 反脆弱，反火雞問題：沒有看到的稀有事件是正面的。當你看到正偏（反脆弱）的時間系列，並且推論看不到的事情，你會漏掉好東西，並且低估利益（Pisano, 2006a, 2006b, mistake）。右圖是Froot (2001)的哈佛問題。陰影區是我們在小樣本中通常看不到的，因為點數不足。有趣的是，陰影區會隨著模型誤差而增加。比較技術性的說法，將這稱為ωB區（火雞）和ωC區（反火雞）。
點估計和分布的差異
我們來將這個分析用到規劃者如何犯下他們所犯的錯誤，以及為何赤字往往比規劃要糟：
圖三十六 預測和現實之間的缺口：規劃者心中的專案成本，可能結果的機率分布（左）和實際狀況（右）。第一個圖中，他們假設成本偏低且相當確定。右邊的圖則顯示結果比較嚴重，也分散得較廣，尤其是不利的結果發生的機率較高。請注意，由於左尾增厚，脆弱性增加。
誤解不確定造成的影響，也適用於政府的赤字、帶有資訊科技成分的計畫、交通時間（程度比較輕），以及其他許多方面。我們會用相同的圖，顯示因為假設參數是常數，而實際是隨機時，低估脆弱性所產生的模型誤差。這是令官僚驅動的經濟學引以為苦的原因（接下來討論）。