19 點金石與反點金石
他們告訴你何時會倒閉—黃金有時是一種特殊的鉛
各位讀者，在我大費周章將前面幾章的觀念說得讓你更加清楚之後，現在換我輕鬆些，用技術方法來表達一些事情。因此，本章——深入探討前一章所說的觀念——將比較沉重，已經明白箇中道理的讀者不妨跳過。
如何察覺誰將倒閉
我們來檢視察覺脆弱性——反點金石——的一種方法。我們可以用政府資助的龐大貸款公司房利美（Fannie Mae）的故事來說明。這家公司倒閉之後，美國的納稅人損失數千億美元之多（數字仍在計算之中）。
二○○三年某日，《紐約時報》的新聞記者艾力克斯．貝倫森（Alex Berenson），帶著揭弊者給他的房利美機密風險報告來我的辦公室。那種報告直探風險計算方法的核心，只有內部人才看得到——房利美自行計算風險，並且向它想要揭露的人（可能是公家機關，或者其他某個人）揭露。只有揭弊者能讓我們一窺堂奧，曉得風險是怎麼計算的。
我們看了報告：很簡單，某個經濟變數向上，房利美會發生龐大的虧損，（往反方向）向下則只有小額的利潤。再向上，額外的虧損會更大，再向下，利潤更小。看起來和圖九的石頭故事完全相同。很明顯可以看出傷害加快——傷害其實十分巨大。所以我們立即得知爆炸在所難免：他們的暴露程度呈現嚴重的「凹性」，和圖十四的交通圖類似：經濟變數一有偏離，虧損就會加速累積（我甚至不需要知道哪種經濟變數，因為對一種變數呈現這麼大的脆弱性，表示對其他所有的參數也呈現脆弱性）。我是用自己的感覺去思考，不是用大腦，在我了解自己所看的數字是什麼之前，便感到一陣劇痛。這是所有的脆弱性之最，而且要感謝貝倫森，《紐約時報》把我關切的事情說了出來。之後開始有人抹黑我，但沒什麼大不了。因為我在同一時間，指稱一些關鍵人物是騙子，他們聽了不是很開心。
關鍵在於非線性受極端事件的影響大得多——可是沒人對極端事件感興趣，因為他們在心裡封鎖它們。
我一再告訴任何願意聽的人，包括隨手招到的計程車司機（好吧，差不多每一位都談了），說房利美這家公司「坐在一桶炸藥上」。爆炸當然不會每天發生（就像建設不良的橋梁不會立即斷掉那樣），而且有人不斷表示，我的看法錯了，毫無根據（他們利用的論點是股價正在上漲，或者更為圓滑的某些說法）。我也推斷，其他機構、幾乎所有的銀行，都處於相同的狀況。在探討過類似的機構，並且看到問題相當普遍之後，我發現銀行體系相當肯定會全面崩垮。我也確定自己再也看不下去了，於是回到市場，對火雞做出報復。就像《教父三》（The Godfather III﹞中的一幕說的：「正當我以為已經出去了，他們又把我拉回來。」
事情果然發生了，好像命運早就安排好了似的。房利美和其他銀行紛紛倒閉，只是所花時間比預期的稍長一點，但差別不大。
這個故事中，愚蠢的部分在於我沒看到金融和一般脆弱性之間的關係——我也沒有使用「脆弱性」一詞。也許是因為我沒有看到太多瓷杯吧。但由於我在閣樓閉門苦讀，所以有了衡量脆弱性的量數，也因此有了衡量反脆弱性的量數。
歸根結柢，一切如下所述：研判當我們計算錯誤或預測錯誤，整體而言是否傷害多於利益，以及傷害會如何加重。就像前面所說的國王的故事，十公斤重的石頭造成的傷害，是五公斤石頭所造成傷害的兩倍以上。傷害加重意味著大石頭會置人於死地。同樣的，大的市場偏差，最後會置企業於死地。
我一發現脆弱性直接來自非線性和凸性效應，以及凸性是可以衡量的，便興奮異常。察覺傷害加重的技術適用於需要在不確定的情況下做決定的任何事情和風險管理。雖然這在醫療和技術方面最為有趣，但立即有需要的領域是經濟。所以我向國際貨幣基金（International Monetary Fund； IMF）建議使用一種脆弱性量數，替代他們知道不靈光的風險量數。風險業中的大部分人，都對他們所用模型的不良（應該說是隨機）表現倍感挫折，但他們不喜歡我先前的「不要使用任何模型」的立場：他們想要某種東西。一種風險量數就在那邊等著他們使用。①
我們就來介紹可以使用的方法。這種技術是一種簡單的試探啟發法，稱作脆弱性（和反脆弱性）察覺試探啟發法，運作方式如下：假設你想要探討一座城鎮是否過度優化。假設你衡量行經那座城鎮的汽車增加一萬輛時，通車時間多出十分鐘。如果再增加一萬輛，通車時間多出三十分鐘。通車時間加速增加，顯示交通呈現脆弱性，表示車輛太多，需要減少，直到加速增加變得溫和為止（再說一次，加速是一種急凹性或者負凸性效應）。
同樣的，政府的赤字對於經濟狀況的變動，特別呈現凹性。比方說，失業率每增加一單位的偏差——尤其是當政府背負債務時——赤字就會變得更加惡化。一家公司的財務槓桿也有相同的效應：你需要借愈來愈多的錢，才能得到相同的效應。這就像龐奇騙術。
脆弱公司的營運槓桿也是一樣。營業額增加一○％時利潤增加的金額，會低於營業額下降一○％時利潤減少的金額。
我直覺上利用這種技術，宣稱備受尊崇的公司房利美行將就木——而且很容易據此提出一個經驗法則。現在我們可以給ＩＭＦ一個簡單的量數。它看起來很簡單、太過簡單，所以「專家」起初的反應是認為它「微不足道」（以前顯然不曾察覺這些風險的人是這麼說的。至於學者和計量分析師，總是嘲弄他們一看就懂的東西，而且會被不是他們想出來的東西激怒）。
根據人應該利用別人的愚蠢取樂這個神奇的原則，我找來朋友拉斐爾．陶亞迪（Raphael Douady）合作，用最深奧的數學推導式，加上得花（專業人士）半天時間才想得通的莫測高深定理，表達這個簡單的觀念。拉斐爾、布魯諾．杜皮爾（Bruno Dupire）和我將近二十年來不斷討論帶有風險的每一件事——每一件事——選擇權專業人士從他們的有利觀點看它們，會遠為嚴謹和清楚。拉斐爾和我證明了非線性、厭惡波動性和脆弱性之間的關係。說起來令人驚訝——也已經證明如此——如果你能用錯綜複雜的方式，加上深奧難懂的定理，去說明某些本來簡單易懂的事情，即使那些複雜的方程式並沒有使嚴謹程度大增，別人也會對你所提的觀念肅然起敬。我們只獲得正面的反應，現在聽到人們說，這個簡單的察覺試探啟發法「十分聰明」（說這些話的人，是本來認為它微不足道的同一票人）。唯一的問題是，數學是附加上去的。
正與負模型誤差的觀念
現在來談談我相信是我真正的專長所在：模型的誤差。
我在廁身交易業時，經常犯下許多執行上的錯誤。比方說，我本來要買一千單位，隔天才發現事實上買了兩千單位，如果價格上漲，那麼利潤相當可觀。一旦相反，就會承受很大的損失。所以這樣的錯誤產生的影響，長期而言會相互抵消，因為它們能在兩個方向對你造成影響。它們導致變異增加，對你的業務影響卻不大。它們不會製造片面的結果。而由於規模有它的上限，這些錯誤可以受到控制——你執行許多小交易，因此錯誤仍然很小。到了年底，錯誤通常會如業內人士所說的「洗掉」。
但是我們建立的大部分東西卻不是這樣，而且錯誤是和呈現脆弱性的東西有關，結果產生負凸性效應。這一類的錯誤會產生單向的結果，也就是產生負值，往往導致飛機晚到，而不是早到。戰爭往往變得更糟，而不是變得更好。就像我們在交通方面看到的，變異（現在稱之為動亂〔disturbances〕）往往使得從南肯辛頓（South Kensington）到皮卡迪利廣場（Piccadilly Circus）的通車時間增加，永遠不會縮短。像交通之類的某些事情，很少經歷等量的正動亂。
這種往一邊倒的片面性會使我們既低估隨機性，也低估傷害，原因在於一個人因為錯誤而暴露在傷害中的程度，大於受到的利益。如果長期而言，隨機性來源在某個方向的變異和另一個方向的變異一樣多，傷害會遠遠高於利益。
所以——這是三元組的關鍵——我們可以將事物做三種簡單的區分：長期而言喜歡動亂（或者錯誤）的事物、對它們呈現中性反應的事物，以及厭惡它們的事物。到現在，我們已經見到進化喜歡動亂，我們也見到發現喜歡動亂。有些預測會受到不確定性的傷害——而且就像交通時間，我們需要緩衝。航空公司已經想出怎麼做這件事，但政府在估計赤字時則不然。
這種方法非常普遍。我甚至將它用在福島式的運算上，並且發現他們的小機率運算如何脆弱——事實上，所有的小機率面對錯誤都顯得非常脆弱，因為所做的假設稍微有點變動，機率就會急遽升高，從每百萬分之一跳升為每百分之一。這相當於低估一萬倍。
最後，這種方法可以告訴我們，經濟模型所用的數學在哪裡是假的——哪些模型顯得脆弱，以及哪些模型不然。只要稍微改變假設，看看影響有多大，以及那種影響是否會加速就知道了。所謂加速，就像房利美那樣，意味著依賴那個模型的某個人會因為「黑天鵝」效應而爆炸。真的很容易。本書附錄提供了詳細的方法，可用於察覺經濟學中的哪些結果是假的——並且討論小機率的問題。我在這裡只想說，經濟學和計量經濟所教的東西，只要帶有方程式，大都應該立即捨棄——這可以說明為什麼經濟學大致上是騙人的專業。脆弱推手，總是帶來脆弱！
如何失去祖母
接下來我要解釋下述的非線性效應：平均數——也就是一階效應——無關緊要的狀況。這是我們探討點金石運作之前的第一步。
如同俗話所說：
如果一條河平均深四呎，千萬不要過河。
你剛接獲通知，說你祖母接下來兩個小時，將待在華氏七十度（約為攝氏二十一度）非常宜人的平均溫度中。好極了，你心裡想著，因為七十度的溫度對祖母再適合不過了。由於你念過商學院，所以是那種看「大畫面」的人，非常滿意這個摘要資訊。
但是又來了第二份資料。說你祖母第一個小時將待在華氏零度（約為攝氏負八度），第二個小時待在一百四十度（約為攝氏六十度），平均是非常宜人的地中海式七十度（攝氏二十一度）的環境中。這下子，看起來你很可能失去祖母，喪禮在所難免，而且可能繼承一筆遺產。
溫度偏離七十度之後，變動所造成的傷害顯然愈來愈大。你應該知道，第二份資訊，也就是變異性，比第一份資訊重要。當一個人面對變異顯得脆弱，平均數的概念便不重要——這個時候，溫度可能的離散情形，重要性大得多。你的祖母對溫度的變異、氣候的波動顯得脆弱。我們將第二份資訊稱作二階效應，或者更準確地說，叫作凸性效應。
平均數的概念雖然用來簡化很好，但它也可能是普羅克拉斯提斯之床。華氏七十度的平均溫度，這個資訊並沒有將祖母的處境簡化。這只是將資訊塞進普羅克拉斯提斯之床——科學模型的建立者必然會做這種事，因為模型的特性，正是在於簡化。但我們不希望簡化將真實的狀況扭曲到造成傷害。
圖十六顯示祖母的健康狀況面對變異所呈現的脆弱性。我將縱軸定為健康，橫軸定為溫度。曲線的形狀向內凹——這是「凹」形，或者呈現負凸性效應。
如果祖母的反應是「線性」（不是曲線，而是呈現一條直線），那麼溫度七十度以下造成的傷害，會被在它之上的溫度所帶來的利益抵銷。但是祖母的健康一定會在某個點達到最高值，之後再也上不去，否則健康會不斷改善。
在我們快速往比較一般性的特質推進時，暫時可這麼認為；就祖母的健康對溫度的反應來說： ⒜這裡呈現非線性（反應並非一條直線，也就是並非「線性」）， ⒝曲線過分向內凹，以及⒞反應的非線性愈大，平均數的重要性愈低，而穩定在這種平均數附近的重要性愈高。
圖十六
超脆弱性。健康為溫度的函數所畫出的曲線向內凹。（華氏）零度和一百四十度的組合，對祖母的健康來說,比一直維持七十度要糟。事實上，平均數為七十度的幾乎任何組合，都比一直維持七十度要糟。②這張圖顯示凹性或者負凸性效應——曲線向內凹。
現在來談點金石③
中世紀的人把不少心思放在尋找點金石上。我們要提醒讀者：chemistry（化學）一字來自alchemy（煉金術），其中大都是在探討物質的化學力量。人們的努力重點，在於利用嬗變法，將金屬化為黃金，從而創造價值。這個過程中，必要的物質稱作點金石——哲學家之石。許多人沉迷其中，包括阿爾伯圖斯．馬格納斯（Albertus Magnus）、艾薩克．牛頓（Isaac Newton）和羅傑．培根（Roger Bacon）等學者，以及不算學者的偉大思想家帕拉塞爾蘇斯（Paracelsus）。
嬗變法的運作被稱作馬格納斯作品（Magnus Opus）——（曠世）巨作——可不是件小事。我真的相信我——根據可選擇性的某些特質——將討論的運作，和先人的努力一樣接近點金石。
以下的說明將讓我們了解：
⒜混為一談問題（誤將油價當作地緣政治，或者誤將下賭贏錢當作預測得好——而不是從報償和可選擇性的凸性而來）的嚴重性。
⒝為何擁有可選擇性的任何事情都具有長期的優勢——以及如何衡量它。
⒞稱作詹森不等式的另一微妙特質。
第十八章所舉的交通例子說，一個小時有九萬輛車子，下一個小時車子增為十一萬輛，雖然平均只是十萬輛，交通狀況卻很可怕。另一方面，假設兩個小時的車輛都是十萬輛，交通會非常順暢，通車時間會相當短。
車輛數是某樣東西，也就是個變數；交通時間是某樣東西的函數。函數的表現就像我們說過的，「不是同一回事」。我們可以在這裡看到，由於非線性，某樣東西的函數變得和某樣東西不同。
⒜非線性愈大，某樣東西的函數愈是偏離某樣東西。如果交通呈現線性，下列兩種狀況的通車時間將沒有差異：先是九萬輛，然後是十一萬輛車子，或者一直都是十萬輛。
⒝某樣東西的波動性愈大——也就是更加不確定——函數愈是偏離某樣東西。我們再用車子的平均數來說。函數（通車時間）受平均數的波動影響較大。如果分布不平均，情況就會惡化。就算平均數相同，你會希望兩段時間的車子都是十萬輛；先是八萬輛，然後是十二萬輛，會比先是九萬輛，然後是十一萬輛要來得糟。
⒞如果函數呈現凸性（反脆弱），那麼某樣東西的函數平均數將高於某樣東西平均數的函數。函數如為凹性（脆弱），情況則相反。
我們拿個例子來說明⒞，因為它是比較複雜的偏誤版本。假設討論中的函數是平方函數（將一個數字乘以本身）。這是凸函數。取來一個傳統的骰子（六面），假設報償等於面朝上的數字，也就是你得到的報酬等於骰子擲出來的數目——如果是一，得到一，如果是二，得到二，如果是六，最高得到六。期望（平均）報償的平方是（1+2+3+4+5+6除以6）2，等於3.52，得到12.25。所以平均數的函數等於12.25。
但是函數的平均數如下所述。取每一個報償的平方，12+22+32+42+52+62除以6，得到平方報償的平均數，所以函數的平均數等於15.17。
因此，由於平方是個凸函數，平方報償的平均數高於平均報償的平方。15.17和12.25之間的差異，就是我說的反脆弱隱形利益——這裡有二○％的「優勢」（edge）。
這裡面有兩個偏誤：一個是基本的凸性效應，導致人們誤將某樣東西平均數（這裡是3.5）的特性和某樣東西的（凸）函數平均數（這裡是15.17）混為一談，第二個偏誤比較複雜，是誤將函數的平均數當作平均數的函數，這裡是指誤將15.17當作12.25。後者代表可選擇性。
擁有線性報償的人，需要有五○％的次數正確。擁有凸性報償的人，需要的正確次數則少得多。反脆弱性的隱形利益是指你可以猜得比隨機要差，最後的表現卻仍然超前。可選擇性的力量就是在這裡——某樣東西的函數凸性很大，所以你能夠做錯卻仍有不錯的表現——也就是不確定性愈高愈好。
這解釋了我的說法：你可以愚笨但具有反脆弱性，表現仍然會很好。
這個隱形的「凸性偏誤」，來自稱作詹森不等式的數學特性。這是一般的創新論述所漏失的地方。如果你忽視凸型偏誤，你會錯過非線性世界運作的一大段。而這的確是相關的論述所遺漏的觀念。對不起。④
如何化黃金為糞土：反點金石
我們拿前面的相同例子來說，但是使用平方根函數（和平方恰好相反，呈現凹性，但是凹性遠低於平方函數的凸性）。
期望（平均）報償的平方根是√(1+2+3+4+5+6除以6)，等於√3.5，得到1.87，也就是平均數的函數等於1.87。
但是函數的平均數如下所述：取每一個報償的平方根，(√1+√2+√3+√4+√5+√6)除以6，算出平均平方根報償，也就是函數的平均數等於1.80。
兩者的差異稱作「負凸性偏誤」（或者如果你是愛挑剔的人，則稱之為「凹性偏誤」）。脆弱性的隱形傷害是你的預測需要遠優於隨機，而且曉得你正往哪裡去，才能抵銷負效應。
且讓我彙整前面的論點：如果你擁有有利的不對稱性或者正凸性（選擇權是個特殊例子），那麼長期而言，你的表現會相當好，在不確定存在的情況下，表現優於平均數。不確定性愈大，可選擇性便扮演愈吃重的角色，而且更好的表現會更好。這個特質對人生十分重要。
①這個方法不需要良好的風險衡量模型。拿一把直尺來說。假設你曉得它的刻度是錯的，沒辦法衡量孩子的身高。但它肯定能夠告訴你孩子是否正在長高。事實上，衡量長高速率會犯下的錯誤，遠比你衡量他的身高犯下的錯誤要小。磅秤也是一樣：不管磅秤做得多麼不好，十之八九總能告訴你體重是否正在增加，所以不要再抱怨了。
凸性談的是加快。衡量凸性效應以察覺模型誤差，叫人讚嘆的地方，在於即使用於運算的模型是錯的，它也能告訴你某個實體是否脆弱，以及它有多脆弱。對於有瑕疵的磅秤，我們只看二階效應。↑
②這裡是有點簡化。七十度上下幾度的溫度變化，可能讓祖母感覺比一直維持七十度要好，但這邊跳過這種細微的差別不談。事實上，在某個點之下，比較年輕的人對於溫度的變異具有反脆弱性（或者不再具有反脆弱性，因為我懷疑一定的溫度會使年老的人感到舒適，因此使他們變得脆弱）。↑
③我要提醒讀者，這一節相當技術性，可以跳過不看。↑
④祖母在華氏七十度的時候，健康狀況比一個小時為零度，另一個小時為一百四十度，平均七十度要好。平均數兩邊的離散愈大，對她的傷害愈強。我們來看看x和x的函數（也就是f(x)）有違直覺的效應。我們將祖母的健康狀況寫成f(x)，其中x代表溫度，這一來平均溫度的函數是f{(0 + 140)/2}，顯示祖母的健康狀況十分良好。但是{f(o) + f(140)}/2卻在f(0)，留給我們一個死祖母，以及在f(140)留下一個死祖母，「平均數」便是一個死祖母。我們因此能夠了解當f(x)是非線性時，f(x)的特質和x的特質分道揚鑣的說法。f(x)的平均數不同於f(x平均數)。↑