为什么20次转动能确保任意初始状态的魔方复原

魔方是一种深受大众喜爱的益智玩具。自1974年被发明以来，这一玩具风靡全球，至今不衰。

标准的魔方是一个3×3×3结构的立方体，核心是一个轴，由26个小正方体组成。在开始的时候，它的每个面都有一种确定的颜色。但经过许多次随意的转动之后，每一面的颜色都被打乱。这时候如果你想将它复原（即将每个面都恢复到开始时的颜色），可就不那么容易了。因为魔方颜色组合的总数是一个天文数字：约4325亿亿！如果我们把所有不同颜色组合的魔方排成一行，这一行有多长呢？能从北京排到上海吗？不止。能从地球排到月球吗？不止。能从太阳系排到比邻星吗？也不止。事实上，它的长度足有250光年！

魔方的颜色组合如此众多，使得魔方的复原成为一件颇具技巧的事情。如果不掌握技巧随意尝试，一个人哪怕从宇宙诞生之初开始不吃、不喝、不睡地玩魔方，玩到今天也几乎没有可能将一个魔方复原。但是，纯熟的玩家却往往能在很短的时间内就将魔方复原，这表明只要掌握技巧，使魔方复原所需的转动次数并不太多。

那么，最少要多少次转动才可以确保任意颜色组合的魔方都能被复原呢？这个问题不仅让魔方爱好者们感到好奇，还吸引了不少数学家的兴趣。因为这其实是一个颇有难度的数学问题。数学家甚至给这个最少的转动次数取了一个很气派的别名，叫作“上帝之数”。

自20世纪90年代起，数学家们就开始寻找这个神秘的“上帝之数”。

寻找“上帝之数”的一个最直接办法就是对所有的颜色组合，逐一计算出复原所需要的最少转动次数，它们中最大的那个数显然就是可以确保任意颜色组合都能被复原的最少转动次数，即“上帝之数”。可惜的是，那样的计算，即便是世界上最强大的计算机也无法胜任，因为魔方所具有的颜色组合实在是太多了。

1992年，一位名叫科先巴的德国数学家提出了一种分两步走的新思路。那就是先将任意颜色组合转变为一些被他用数学手段选出的特殊颜色组合之一，然后再复原。这样做的好处是每一步的计算量都比直接计算“上帝之数”的计算量少得多。运用这一新思路，2007年，“上帝之数”被证明不可能大于26。也就是说，只需不多于26次转动就可以确保任意颜色组合的魔方都能被复原。

但这个数字却还不是“上帝之数”，因为科先巴的新思路有一个明显的局限，那就是必须先达到他所选出的特殊颜色组合之一。但事实上，某些转动次数最少的复原方法是无需经过那些特殊颜色组合的。因此，科先巴的新思路虽然有效地降低了计算量，但找到的复原方法却不一定是转动次数最少的。

魔方玩具在世界各地受到欢迎

为了突破这个局限，数学家采取了一个折中手段，那就是适当地增加特殊颜色组合的数目，因为这个数目越大，转动次数最少的复原方法经过那些特殊颜色组合之一的可能性也就越大。不过，这么做也有副作用，那就是会增大计算量。幸运的是，计算机技术的快速发展很快就抵消了计算量的增大。2008年，研究“上帝之数”长达15年之久的计算机高手罗基奇用这种折中方法把对“上帝之数”的估计值压缩到22。也就是说，只需不多于22次转动就可以确保任意颜色组合的魔方都能被复原。

那么，22这个数字是否就是“上帝之数”呢？答案仍是否定的。这一点的一个明显征兆，就是人们从未发现过一种颜色组合，复原其所需的最少转动次数超过20。因此人们猜测“上帝之数”的真正数值应该是20（不可能小于20，因为有很多颜色组合已被证明需要20次转动才能复原）。2010年7月，这一点最终由科先巴本人及几位合作者给出了证明。

因此，现在我们可以确定地回答“最少要多少次转动才能让任意初始状态的魔方复原”这一问题了，那就是：20次。（卢昌海）

【微博士】厄尔诺·鲁比克与魔方

魔方是匈牙利布达佩斯应用艺术学院的建筑学教授鲁比克发明的。鲁比克最初想要发明的并不是益智玩具，而是一个能够演示空间转动、帮助学生直观地理解空间几何的教学工具。经过一段时间的考虑，他决定制作一个由一些小方块组成的、各个面能随意转动的3×3×3结构的立方体。

但如何才能让立方体的各个面既能随意转动，又不会因此而散架呢？这一问题让鲁比克陷入了苦思。1974年一个夏日的午后，他在多瑙河畔乘凉，当他的目光无意间落在河畔的鹅卵石上时，忽然灵感闪现，他想到了解决困难的办法，那就是用类似于鹅卵石那样的圆形表面来处理立方体内部的结构。就这样他完成了魔方的设计。

【微博士】魔方大赛

自1981年起，人们就开始举办世界性的魔方大赛。大赛中，不断有玩家刷新最快复原时间的纪录。截至2011年底，单次复原时间的世界纪录为5.66秒，多次复原平均时间的世界纪录则为7.64秒。

不过，玩家们复原魔方所用的转动次数并不一定是理论上最少的转动次数，因为他们采用的是便于人脑掌握和记忆的方法，追求的则是最快的复原时间。多几次转动虽然要多花一点时间，但比起寻找理论上最少的转动次数来仍要快速得多——事实上，后者根本就不是人脑所能胜任的。

【微问题】如果转动一个七阶魔方，多少次转动能确保任意初始状态的魔方复原？

【关键词】魔方　组合