为什么人们热衷于寻找梅森素数

6被称为完全数

在中世纪的欧洲，意大利人把6看成是属于爱神维纳斯的数，认为它是美满婚姻的象征，6也被称为完全数。事实上，传入中国时，完全数还有另一个译名，叫作“完美数”。

如果把一个自然数的所有因数（本身不算在内）加起来正好等于这个数时，这样的自然数就叫完全数。不难看出，6有三个因数1、2、3，而1+2+3=6，所以6是一个完全数，它是完全数家族中最小的成员。28除去其本身有五个因数1，2，4，7，14，它是第二个完全数：1+2+4+7+14=28。已发现的完全数都是偶数，连一个奇数都没有。尽管如此，人们依然未能证明奇完全数不存在，这一问题也成为数论中又一个悬而未决的难题。

法国天主教修士梅森

早在公元前500多年，毕达哥拉斯就已接触过完全数。之后的欧几里得在《几何原本》第九章中论述完全数时指出：如果2n-1是素数，则2n-1（2n-1）是完全数。到17世纪，法国天主教修士梅森对2n-1做了大量计算，并做出了一些断言（有的有错误），为纪念他的功绩，后人把形如2n-1的数称作梅森数，并记作Mn。

容易证明，当梅森数2n-1是素数时，n必为素数；反之，当n是素数时，梅森数似乎也是素数，例如：M3=7，M5=31，M7=127。然而出乎意料的是，当下一个M11=211-1=2047=23×89出场时，这个规律就不存在了！

由于梅森素数具有许多奇特的性质和美妙的趣闻，千百年来一直吸引着众多数学家。但直到18世纪为止，发现的梅森素数仅仅只有8个，即M2，M3，M5，M7，M13，M17，M19，M31。

其中，最后一个M31是数学家欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明的，堪称当时世界上已知的最大素数。欧拉还证明了欧几里得关于完全数的定理的逆定理，即每个偶完全数都具有形式2n-1（2n-1），其中2n-1是素数。这就使得偶完全数完全成了梅森素数的“副产品”。此后的100多年间，新发现的梅森素数只增加了4个——M61，M89，M107与M127。其中，法国数学家卢卡斯在1876年提出的用来判别Mp是不是素数的重要定理——卢卡斯定理，为梅森素数的探寻提供了强有力的工具。

在“笔算纸录的年代”，人们历尽艰辛，仅找到12个梅森素数。电子计算机的出现大大加快了探寻梅森素数的步伐。1952年，数学家鲁滨逊等人将1930年美国数学家莱默改进的卢卡斯方法，即卢卡斯-莱默方法，编译成计算机程序，使用SWAC型计算机找到了5个新的梅森素数：M521，M607，M1279，M2203和M2281。

1963年，当第23个梅森素数M11213通过大型计算机被找到时，美国广播公司中断了正常的节目播放，第一时间发布了这一重要消息。发现这一素数的美国伊利诺伊大学数学系全体师生感到无比骄傲，为了让全世界都分享到这一成果，他们把所有从系里发出的信件都盖上了“211213-1 is prime”（211213-1是个素数）的邮戳。

尤其值得一提的是，两个初出茅庐的美国中学生诺尔和尼科尔，经过3年的努力编写了一个计算程序，于1978年10月在Cyber174型计算机上运行350小时，发现了第25个梅森素数M21701。当时，世界各大新闻机构（包括中国的新华社）及学术刊物都争相报道了这一消息，《纽约时报》还把它作为头版头条来报道。

网格这一崭新技术的出现使梅森素数的探寻如虎添翼。1996年初，美国数学家及程序设计师沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供数学家和数学爱好者免费使用，这就是闻名世界的“因特网梅森素数大搜索”（GIMPS）项目。该项目采取网格计算方式，利用大量普通计算机的闲置时间来获得相当于超级计算机的运算能力。现在只要人们去GIMPS的主页下载一个免费程序，就可以立即参加GIMPS项目来搜寻梅森素数。目前，世界上有150多个国家和地区的近15万人参加GIMPS这一国际合作项目。

人们通过GIMPS项目找到了14个新的梅森素数。2008年8月23日，美国加利福尼亚大学洛杉矶分校的计算机专家史密斯发现了第45个梅森素数M43112609。2008年9月6日，电子工程师埃尔维尼科发现了第46个梅森素数M37156667。2009年4月12日，挪威人斯特林德莫发现了介于上述两个数之间的梅森素数M42643801。2013年1月25日，美国中央密苏里大学数学教授柯蒂斯·库珀领导的研究小组发现了已知的最大梅森素数M57885161，它有1700多万位，使被发现的梅森素数达到了48个。除了第1个，所有的梅森素数以1和7结尾。有意思的是48个梅森素数中大多数以1结尾。

人们为什么如此热衷于寻找梅森素数？自古希腊时代直至17世纪，探寻梅森素数的意义似乎只是为了完全数。但自梅森提出其著名断言以来，特别是欧拉证明了欧几里得关于偶完全数定理的逆定理以来，完全数也仅仅是梅森素数的一种“副产品”了。寻找梅森素数是发现已知最大素数的最有效途径，自欧拉证明M31为当时最大的素数以来，在发现已知最大素数的世界性竞赛中，梅森素数几乎囊括了全部冠军。

搜寻梅森素数也是测试计算机运算速度的手段

搜寻梅森素数也是测试计算机运算速度及其他功能的有力手段。例如，第34个梅森素数M1257787，就是1996年9月美国克雷公司在测试其最新超级计算机的运算速度时得到的。发现梅森素数不仅需要高功能的计算机，还需要素数判别和数值计算的理论与方法，以及高超巧妙的程序设计技术等，因而还推动了“数学皇后”——数论的研究，促进了计算数学和程序设计技术的发展。

梅森素数在实用领域也有用武之地，现在人们已将大素数用于现代密码设计领域，其原理是：将一个很大的数分解成若干素数的乘积非常困难，但将几个素数相乘却容易得多。在这种密码设计中，需要使用大素数，素数越大，密码被破译的可能性就越小。（谈祥柏　田廷彦）

【微问题】你知道哪些非梅森数的素数？

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