为什么康托尔集内的数和实数个数一样多

1883年，德国数学家康托尔向人们展示了这样一个非常怪异的集合。考虑由0到1之间的所有实数构成的区间[0，1]，把它平分成三段，并去掉中间那一段开区间（1/3，2/3）。这样，剩下的集合是两个剩余区间的并集，即[0，1/3]∪[2/3，1]。接下来，把每个区间都再次分成三段并挖掉中间那段开区间，于是便得到了由四个更小的剩余区间构成的集合继续在每个区间中挖掉中间三分之一，并无限地这样做下去，最后剩下的数所组成的集合就叫作康托尔集。

康托尔集的构造过程

容易看出，每次挖掉各个区间的中间那一段之后，所有剩余区间的总长度将会变为原来的2/3。由于初始时区间的总长度为1，第n次操作之后所有剩余区间的总长度便只剩下（2/3）n。当n趋于无穷大时，（2/3）n将趋于0，可见康托尔集的“总长度”为0。

不过，这只能表明康托尔集内不含有任何区间，并不能表明康托尔集里不存在任何数。在生成康托尔集的过程中，由于每次挖掉的是一个开区间，各个剩余区间的端点都不会被挖掉，因而像1/3，2/3，1/9，2/9，7/9，8/9之类的数最终都将保留在康托尔集里。事实上，由于所有形如（1/3）n的分数都会保留下来，因而康托尔集里的数有无穷多个！更有趣的是，康托尔集中还包含了很多“端点值”以外的数。如图所示，用线段AB表示区间[0，1]，A'B'表示区间如果点P满足AP∶AB=A'P∶A'B'的话，那么点P将始终以相同比例的位置留在越来越小的剩余区间中，永远也不会被挖掉。假设点P所代表的数是x，那么x应该满足可以解得x=1/4。它也是康托尔集里的数。

端点以外的点，也可能在康托尔集内

尽管康托尔集里的数有无穷多，但直观上似乎应该比[0，1]区间中的实数少得多。然而令人惊奇的是，这是不对的，实际上康托尔集里的数和[0，1]区间里的实数一样多！它比看上去布满[0，1]区间的有理数要多得多！

为了说明这一点，我们把0到1之间的所有数都用三进制小数来表示。如果把这些数平均分成三段，那么它们正好依次是0到0.1之间的数，0.1到0.2之间的数，以及0.2到1之间的数。挖掉的中间那一段的数正好是小数点后第一位是1的那些数，而剩下的数都是那些小数点后第一位是0或者2的数。在下一步中，我们将挖掉每个区间的中间1/3，也就是所有小数点后第二位是1的数，剩下的数便都是那些小数点后第二位也是0或者2的数……不断这样操作下去，最终留在康托尔集里的数，恰好就是那些只由0和2构成的三进制小数！比如1/4的三进制小数表达是0.020202…，可见1/4确实属于康托尔集。另外，虽然1/3的三进制小数是0.1，1/9的三进制小数是0.01，但我们也可以把它们分别改写成无限循环小数0.02222…和0.002222…（这个道理和0.999…=1是一样的），因此它们也在康托尔集里。

接下来，我们就能轻易地把康托尔集里的数与[0，1]区间里的所有实数一一对应起来。对于康托尔集里的任意一个数，首先把它转化为三进制小数，把小数展开中的所有数字2变成数字1，再把新的小数当成是二进制小数，并重新转化回十进制，它就是[0，1]之间的某个实数。同样地，对于[0，1]区间的每一个实数，先把它写成二进制小数，再把所有的1都改写成2，并把它看作是一个三进制小数，它便成了康托尔集里的一个数。因此，康托尔集里的数和整个[0，1]区间里的实数之间存在一一对应关系，两个集合里的数是一样多的！

康托尔集的“总长度”为0，但所含元素的个数竟然和实数区间一样多，这些奇异的性质迅速引起了数学家们的注意。在集合论、拓扑学、测度论、实分析、分形理论等各个数学分支中，康托尔集都扮演着重要的角色。（顾森）

【科学人】康托尔

康托尔（1845—1918），德国著名数学家，生于圣彼得堡。1856年举家搬到法兰克福。1867年，康托尔获得柏林大学博士学位。康托尔最杰出的贡献是集合论的创立。在康托尔之前，数学家大多将无穷大看成是一个虚幻的东西，它的存在仅仅是为了叙述问题的方便。康托尔则不然，他引入了“势”的概念，并且一个无穷集合的势可以比另一个无穷集合的势大。一个最著名的例子是，偶数与自然数、有理数一样“多”，但比无理数、实数“少”！这正是康托尔第一个证明的（1873年），并可看成是集合论诞生的标志。这无疑需要极为丰富的想象力和非凡的勇气。康托尔受到的打击也是非同寻常的，为此他找不到最好的大学任教，并患上抑郁症，最后死在精神病院里。

【微博士】连续统

（0，1）区间上的实数全体也称为“连续统”。所谓的“连续统假设”就是断言：不存在比全体自然数那种无穷更大，同时又比全体实数那种无穷更小的某种无穷。这是著名的“希尔伯特23个问题”当中的第一个。数学家已经证明，在现有数学体系中承认它或否定它都不会产生矛盾。

【微问题】你能在闭区间[0，1]和开区间（0，1）之间建立一一对应吗？

【关键词】无穷大　康托尔集