实数都是整数系数代数方程的根吗

我们在学校里学过解方程，其中解得最多的就是所谓的代数方程，比如3x-1=0，x2-2x-8=0等。这些方程的一个主要特点，就是每一个包含未知数的项，都只包含未知数的正整数次幂。除此之外，这些方程还有两个很重要的特点，那就是项的数目是有限的，且未知项的系数都是整数。

现在，我们要回答这样一个问题：实数都是整系数代数方程的根吗？为了方便起见，我们将整系数代数方程简称为代数方程。首先，很明显的是，所有有理数q=m/n都是代数方程nx-m=0的根，这里m,n是整数（n≠0）。其次，学过一元二次方程的人都知道，代数方程的根不一定是有理数。比如x2-2=0的两个根，就是无理数。因此，整系数代数方程的根既可以是有理数，也可以是无理数，从而至少在表面上具备了表示所有实数的潜力。

但有潜力不等于一定能做到，关键得要有证明。最早对“实数都是整系数代数方程的根吗”这一问题作出否定回答并给出证明的是法国数学家刘维尔，他不仅证明了某些实数不是任何整系数代数方程的根，而且还具体构造出了那样的实数，从而以最雄辩的方式给出了否定的答案。刘维尔最初构造的那些非代数方程根的实数，是用连分数表示的，后来他还用十进位小数构造出了这类实数。为了纪念刘维尔的贡献，人们将刘维尔构造出的那一类数称为刘维尔数。

现在我们知道，有很多重要的实数，比如自然对数的底e、圆周率π等，都不是整系数代数方程的根。为了便于表述，数学家把能够用整系数代数方程的根来表示的数称为代数数，把不能用整系数代数方程的根来表示的数称为超越数。

实数既包含代数数，也包含超越数。有理数与是代数数的例子；e和π则是超越数的例子。我们的问题用这一新术语可以重新表述为：实数都是代数数吗？答案如上所述是否定的。

不过，答案虽然揭晓了，证明一个具体的数是超越数，却往往不是一件容易的事情。比如为了证明两个最重要的常数e和π是超越数，就费了数学家不小的气力。数e的超越性是由法国数学家埃尔米特于1873年证明的。而判断π是否是超越数则更加困难，直到1882年才由德国数学家林德曼证明，π也是超越数。而像e+π和e-π这样的简单组合是否是超越数，则直到今天也还是个谜。

接下来我们还可以问一个问题，那就是代数数多还是超越数多？从超越数的构造和证明如此困难来看，也许很多读者会猜测只有很少的数是超越数。事实却恰恰相反。1874年，德国数学家康托尔证明了超越数远比代数数多（这里所涉及的是无穷集合元素数目的比较）。事实上，他证明了实数几乎全都是超越数——换句话说，如果从实数中随机地挑出一个来，它是代数数的概率是0！

超越数的存在不仅仅具有抽象的分类意义，而且可以解决一些具体的数学问题。比如，几何中的尺规作图方法所能作出的线段的长度，已被证明为只能是代数数（如给定单位长度）。因此π是超越数这一看似只具有抽象分类意义的结果，直接证明了困扰数学家们2300多年的“尺规作图三大难题”之一的“化圆为方”，是不可能做到的。（卢昌海）

【微博士】超越数

法国数学家刘维尔是最早证明超越数存在的数学家。法国数学家埃尔米特于1873年证明了e是超越数。另一位在超越数研究上做出过重要贡献的是德国数学家林德曼。他于1882年证明了π是超越数。林德曼在数学上没有太多其他贡献，但他却有几位极著名的学生，比如著名数学家希尔伯特和闵可夫斯基，著名物理学家索末菲等。

【微博士】】刘维尔数

刘维尔构造的一大类超越数称为刘维尔数。第一个用十进位小数表示的刘维尔数（也是第一个用十进位小数表示的超越数）是0.110001000……（小数点后数字的规律是这样的：小数点后第n！〈即n的阶乘〉位的数字为1，其余的数字全都为零）。这个数通常被称为刘维尔常数，但有时候也被称为刘维尔数，虽然它其实只是无穷多个刘维尔数中的一个。