为什么欧拉公式被认为是最美的数学公式

一般人认为数学中尽是些枯燥乏味的数字和公式，但数学家不这么认为。在数学家眼里，许多数学定理和公式都是很有魅力的，是很美的。例如，现代数论大家塞尔伯格就对如下公式

情有独钟，在他看来，奇数1，3，5，…能够组合出π真是奇妙无比，这个公式就像画一样。

在所有的数学公式中，被数学家公认为最美的数学公式，是如下这个公式：

eiπ+1=0.

这个公式是大数学家欧拉得到的，是众多以欧拉名字命名的公式之一。那么，这个公式美在哪里呢？我们来分析一下。

这个公式的奇妙之处在于，它将数学中最重要的5个常数：0，1，π，e, i，通过三种最基本的运算：加法运算、乘法运算及幂运算，用一个等号联系在了一起。在0，1，π，e, i这5个常数中，0和1是算术的代表，它们分别是加法运算和乘法运算的单位元，即任何数加0还是原来的数，任何数乘1也还是原来的数。通过四则运算，0和1可以生成所有有理数。π和e都是无理数。π是圆周率，其重要性不言而喻，它来自几何，但数学中处处要用到它。“这个数渗透了整个数学”（陈省身语）。e是自然对数的底，它来自数学分析（微积分）。e的出现使数学表达变得简洁和美观，它是微积分中最常见的常数。i是虚数单位，它来自代数，i的出现将数从实数扩充到了复数，从而使得任何代数方程都有根。

欧拉公式是数学家眼中最美的公式

欧拉公式中，每一个常数、每一个运算以及等号，无一不是数学史上的经典之作，是数学中最基本、最重要的。这个公式是如此的简洁和完美，没有任何冗余，却又缺一不可。而且，这些常数来历各异，分属不同的学科，欧拉公式以这样和谐的方式将它们统一起来，无疑是一个奇迹。它深刻地体现了数学的美妙和和谐，无怪乎人们会认为它是数学中最美的公式。在法国巴黎发现宫的π大厅的门框上，我们就可醒目地看到这个公式。

上述欧拉公式是如下更一般的欧拉公式取θ=π时的一个特殊情形：

eiθ=cosθ+isinθ，

这里θ是实数。这个公式是如何得到的呢？这和复指数ez的定义有关。它用初等数学无法解决，要涉及无穷级数，即无穷多项的求和。欧拉发现了指数函数ex的如下无穷级数表示

同样，三角函数sinx和cosx也有这种无穷级数表示

在这些公式中将x取为复数也应该成立。于是，在第一个公式中取x=iθ，利用i2=-1，并结合后面两个公式，我们很容易得到eiθ=cosθ+isinθ。这个公式本身就极其优美，它建立了指数函数和三角函数之间不可思议的联系。有了它，很多三角公式就可以轻而易举地推导出来。（邱维元）

【科学人】欧拉

欧拉（1707—1783）出生在瑞士巴塞尔，13岁时考入了巴塞尔大学，起初学习神学，后改学数学，得到了当时最有名的数学家约翰·伯努利的精心指导。17岁时获得了硕士学位。3年后，他来到圣彼得堡科学院任教。31岁时，欧拉不幸右眼失明。1741年，欧拉来到了柏林，担任普鲁士科学院物理数学研究所所长。1766年欧拉返回俄国。不久，他的另一只眼睛也失明了。在全盲的最后13年中，他仍以非凡的记忆力和惊人的心算能力完成了他生平一半左右的著作。大数学家拉普拉斯这样评价欧拉道：“读欧拉原著吧，在任何意义上，他都是我们的老师。”

欧拉从没有用自己的名字给他发现的东西命名，但只要浏览一下数学和物理教科书的索引，我们肯定能不断见到后人以他的名字命名的重要常数、公式和定理，从初等几何的欧拉线、多面体的欧拉定理、解析几何的欧拉变换公式、四次方程的欧拉解法，到数论中的欧拉函数、微分方程的欧拉方程、级数论的欧拉常数、变分学的欧拉方程、复变函数的欧拉公式，等等，数也数不清。我们现在习以为常的数学符号，有很多都是欧拉首创的，如函数符号f（x）、求和符号Σ，以及三角函数sinx、cosx等。