为什么说费马大定理是“一只会下金蛋的鹅”

邮票上的费马大定理

17世纪，法国数学家费马在研读古希腊人丢番图的著作《算术》时，看到其中有一个关于勾股数的问题：“给定一个平方数，如何把它写成另两个平方数之和？”于是他在书旁空白处写道：“……一般来讲，任何一个幂次大于2的幂整数都不能写成两个同次幂整数之和。我发现了一个真正奇妙的证明，但空白处太小，写不下。”用现代的数学符号表示，费马是在说：

xn+yn=zn（n＞2）　　　（1）

没有正整数解。这就是著名的“费马大定理”，又名“费马最后定理”。

现在人们相信，费马并没有证明他的“大定理”，因为它真的太难了。18世纪的数学家欧拉只给出了n=3时的证明。19世纪的数学家高斯也研究过它，因得不到结果而放弃。而当20世纪的大数学家希尔伯特被劝去解决费马大定理时，他却说自己不愿意“杀死这只会下金蛋的鹅”。希尔伯特所说的“金蛋”，是指为了证明费马大定理而发展起来的那些绝妙的数学概念和理论。

首先是推广了“整数”的概念。数学家发现，把n次单位根ω（即ωn=1）当作“整数”，那么（1）式就能分解为

zn=xn+yn=（x+y）（x+yω）（x+yω2）…（x+yωn-1），进而可以深入分析。

我们知道，大于1的整数都能唯一地分解成为一些素数的乘积，像6=2×3，20=22×5等。扩充后的“整数”如果仍能保持这种唯一分解性，则费马大定理早已解决。可惜事实并非如此。例如6在扩充的“整数”中，有两个分解：6=2×3和于是，19世纪德国数学家库默尔发明了一个全新概念“理想数”。在此基础上，他一下子证明了n≤100（除个别情况外）时的费马大定理。库默尔由此开创了现代数学的一门重要分支——代数数论。

英国数学家怀尔斯证明了费马大定理

1994年，英国数学家怀尔斯经过8年闭门苦研，终于完全证明了费马大定理，这一困扰了数学家350多年的难题终告破解。怀尔斯的证明关键在于，他成功地应用“伽罗瓦群表示”建立起了“椭圆曲线”和“模形式”之间的对应，从而揭示了现代数学不同领域之间的深刻联系。这是费马大定理“生下的最后一个金蛋”。（善平）

【微博士】勾股数

勾股定理断言：“任意的直角三角形中，两条直边（勾和股）的平方和等于斜边（弦）的平方。”这是数学中最古老的定理：4000年前的巴比伦人已经知道它；3000多年前中国周代人商高也知道它；2600年前古希腊人毕达哥拉斯知道并且能够证明它，所以西方人称之为“毕达哥拉斯定理”。勾股定理不仅是几何中的基本定理，而且具有重要的算术意义，因为它存在无穷多个正整数解。“勾三股四弦五”是其最简单的整数解；通解是a=m2-n2，b=2mn, c=m2+n2，其中m,n是满足m＞n的任意正整数。满足勾股定理整数解的三元数组（a,b，c）被称为“勾股数”。费马大定理可看作是勾股定理在算术意义下的推广。

【科学人】费马

法国数学家费马

费马（1601—1665）是法国的一名律师，数学只是其在闲暇时的业余爱好。在主业上费马或许只能用“称职”来描述，然而在数学上却堪称17世纪最伟大的数学家之一，被誉为“业余数学家之王”。

费马只把少数研究内容写在给朋友的信中，他发表的论文则更少。然而，费马却是与笛卡儿并列的坐标几何的发明者之一，对微积分也有重要贡献。在同帕斯卡的通信中，两人一起开创了概率论。在光学方面，他提出了著名的费马（最小光程）原理。但费马在纯数学特别是数论方面的研究，远在其同代数学家的工作之上，主要贡献有：无穷递降法、亲和数、费马小定理、佩尔方程、费马素数（他做出的唯一错误预言）等。他还提出了著名的费马大定理，历时350多年，最终被英国数学家怀尔斯在1994年解决。