为什么说有理数和正整数一样多

大家都知道，数轴上表示正整数的点是间隔地分布在上面的，而任何两个有理数之间总可以找到另一个有理数，例如它们的平均数。这似乎表明有理数要比正整数多很多。但有理数和正整数其实一样多。换句话说，全体有理数可以和正整数建立一一对应关系。

这个事实是康托尔在1873年发现的。他首先考虑的是全体正有理数按照下面给出的排列方式，我们可以将全体正有理数和正整数作成一一对应：

显然，每个正有理数都出现在这个阵列中。如果按箭头所示依次重新排序，删除已经出现过的数，就得到全体正有理数的一个无穷序列：

于是，

便是全体有理数排成的一个无穷序列。于是，

建立了有理数集合与正整数集合的一一对应，所以说有理数和正整数一样多。（李文林　程钊）