为什么老鹰抓兔子的飞行路线不是直线

老鹰有一双极其敏锐的眼睛，即使在高空也能发现躲在草丛中的兔子。一旦发现了自己的猎物，在兔子还未察觉之前，它便以迅雷不及掩耳之势直扑下去抓住猎物。不过这里用“直扑”两个字可能并不恰当，事实上老鹰抓兔子的飞行路线并不是直线，而是曲线，称为对数螺线。这是因为老鹰的眼睛分布在其头部的两侧，发现猎物后用一只眼睛死死盯住猎物不放，而飞行方向是其头部正前方的方向，那一只盯住猎物的眼睛与猎物的连线（即视线）与头部的正前方向之间总有一个固定的夹角。这就是说，老鹰的飞行方向不是正对着猎物的，在飞行过程中，老鹰眼睛与猎物的连线在不断改变方向。为了保证老鹰的一只眼睛始终盯住猎物，同时飞行方向与该眼的视线始终保持固定的角度，它必须在飞行过程中不断改变飞行方向。因此，老鹰的飞行路线是一条曲线。

这条曲线有这样的特性：假定将猎物放在坐标原点，那么该曲线上任意一点（即老鹰所在位置）与坐标原点的连线（即老鹰的视线）与曲线在该点的切线方向（即老鹰飞行方向）都保持相同的角度。具有这一性质的曲线称为等角螺线。（交角为直角除外，此时曲线为一圆周），又称为对数螺线。称其为对数螺线是因为曲线是旋转着靠近（或远离）原点的，当一点在曲线上相对于原点旋转一个角度θ时，该点到原点的距离r的对数lnr增加了aθ，这里a是一个不为0的常数（a＜0和a＞0分别对应于靠近和远离原点）。用极坐标（r，θ）表示，该曲线可以用如下方程来描述：

lnr=aθ或r=eaθ.

对数螺线

对数螺线，是许多自然形体偏好的生长形态，也称为生长螺线。比如鹦鹉螺的贝壳，从现存化石上清晰可见，其花纹就具有对数螺线的形态。此外，向日葵种子的排列、卷曲的叶片、天体中的螺旋星系以及热带气旋等都可以看成是对数螺线的表现形式。

对数螺线有许多奇妙的几何性质。比如说，除了从原点出发的射线和对数螺线相交的角度（即和交点处切线的角度）不变外，任何以原点为圆心的圆和对数螺线的交角都是相等的，后者称为对数螺线的倾斜角。银河系的旋臂是倾斜角大约为12°的对数螺线。沿对数螺线向原点进发，要绕原点无穷多圈才能到达原点，但总的距离是有限的。

对数螺线是由笛卡儿在1638年发现的，雅各布·伯努利对此进行了深入研究。雅各布·伯努利对对数螺线特别感兴趣的一点，是他发现了对数螺线在很多几何变化下具有不变性质。例如，将一条对数螺线放大或缩小不管多少倍，它还是原来的那条对数螺线，只不过转动了一个角度。对数螺线关于圆心在原点的任何圆周的对称曲线还是对数螺线，除了旋转方向相反，它和原来的对数螺线相同。此外，对数螺线的渐屈线和垂足线也都与原来的对数螺线相似，等等。这些发现促使雅各布·伯努利将对数螺线称为神奇的曲线，表示要在他的墓碑上刻上对数螺线，并加上“万变不离其宗”的碑文。现今在瑞士巴塞尔蒙斯特大教堂的回廊上，人们可以看到雅各布·伯努利的这一墓碑，可惜在墓碑上所刻的螺线并不是像鹦鹉螺贝壳那样的对数螺线，而是阿基米德螺线，其极坐标方程为r=aθ，当其上的点绕原点转动的角度θ以等差数列增加时，点到原点的距离r也以等差数列增加，而不是像对数螺线一样以等比数列增加。若雅各布·伯努利泉下有知，定将为此捶胸顿足。（李大潜）

自然界中形形色色的对数螺线，卷曲叶片（上）、螺旋星系（中）、向日葵花盘（下）

鹦鹉螺

雅各布·伯努利的墓碑，最下方的曲线为阿基米德螺线

【微博士】渐屈线、渐伸线

在一条曲线上取一定点S，过曲线上任意一点P作曲线的切线，在切线上取一点Q使得点P到点Q的距离等于曲线上点P到点S的弧长，则当点P在曲线上运动时，点Q的轨迹称为该曲线的渐伸线，也叫渐开线。如果曲线B是曲线A的渐伸线，则曲线A是曲线B的渐屈线。比如，圆的渐伸线是一条类似于阿基米德螺线的曲线，它通常用来设计齿轮上齿的形状，称为渐伸线齿轮。而对数螺线以极点为定点S的渐伸线还是和原来一样的对数螺线，当然，对数螺线的渐屈线也还是对数螺线。

【微博士】垂足线

心脏线——圆上定点在动切线上射影的轨迹

给定一条曲线和一个定点S，过曲线上任意一点P作曲线的切线L，再过点S作切线L的垂线，垂足为Q，则当点P在曲线上运动时，点Q的轨迹称为该曲线的垂足线，点S称为垂足点。给定圆上一点作为垂足点，该圆的垂足线是一条心脏线。对数螺线以极点为垂足点的垂足线是一条和原螺线一样的对数螺线。

【微问题】找一找对数螺线的不变性质有哪些？

【关键词】对数螺线　鹦鹉螺