为什么正多面体只有5种

在平面上，不仅有正三角形、正方形、正五边形，还有一般的正n边形（n=6，7，8，…）。但是，到了三维空间，正多面体（每个面都是相同的正多边形的多面体）却只有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。在西方它们被称为柏拉图多面体。这一结果与平面多边形的结果大不相同，这是为什么呢？

其实，只要利用n边形的内角和公式，就可以简单地证明这个结论。为此，让我们把目光集中到一个顶点处：如果正多面体的一个顶点处围聚了m个正n边形，由于正n边形的一个内角为，该顶点处（凸起）的周角为，由此可以知道（m-2）（n-2）＜4。这样，（m,n）以及正多面体的情况只能有以下5种：

（m,n）=（3，3），对应正四面体；

（m,n）=（3，4），对应正六面体；

（m,n）=（4，3），对应正八面体；

（m,n）=（3，5），对应正十二面体；

（m,n）=（5，3），对应正二十面体。

其中正四、八、二十面体的各面是正三角形；正六面体的各面是正方形；正十二面体的各面是正五边形。

那么，为什么（m,n）=（3，3），（3，4），（4，3），（3，5）和（5，3）正好分别对应正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体呢？对此，利用著名的欧拉公式（以欧拉命名的公式很多，这是其中之一）就可回答这个问题。记上述多面体的面数为f，棱数为e，顶点数为v，则欧拉公式为：

f-e+v=2.

如果一个正多面体的每个面是正n边形，每个顶点处有m条棱相交于此，则每一个顶点被m条棱共用，每条棱被2个面共用，而每个面有n个顶点。容易得出，面数f、棱数e、顶点数v与m、n具有关系nf=mv=2e，再利用欧拉公式，对给定的n、m，就能求出f、e、v。比如当（m, n）=（3，3）时，可得到f=4、e=6以及v=4。它表明这是一个四面体，有6条棱、4个顶点。顺便说一下，也可直接利用欧拉公式证明正多面体只有5种。

正十二面体去掉一个面后展开的平面网络图形

欧拉公式是欧拉在1750年发现的，它不仅适用于正多面体，而且适用于一般的简单多面体。假如上面的正多面体是用橡皮做的空心多面体，则在其内吹气可以让它们都成一个球面，或者说它们都可以连续变形为一个球面，所有可以连续变形为一个球面的多面体称为简单多面体。对简单多面体，欧拉公式f-e+v=2均成立。欧拉公式的证明其实也不复杂：把一个简单多面体的一个面去掉后，可以把它展开为一个平面网络图形，它的外围围成一个多边形，上图是正十二面体去掉一个面后展开的图形。现在我们拿掉在外围多边形内部的一个顶点，同时拿掉和这个顶点相连的所有m条棱（现在只能称为边），这样围在这个顶点周围的m个面合并成一个面，也就是少了m-1个面。这样，少掉的边数等于少掉的面数和顶点数之和，因此，f-e+v的值并没有改变。逐次拿掉外围多边形内部的所有顶点及相邻的边，f-e+v都不会改变，最后的图形变成只剩下外围的多边形，它的顶点数和边数一样多，而内部只有一个面，因此得到f-e+v=1，加上一开始去掉的一个面就得到了欧拉公式f-e+v=2。（张文俊）

5种正多面体

正二十面体

逐次拿掉外围多边形内部的所有顶点及邻边