为什么最多用4种颜色就可以给任何平面地图着色

4种颜色足够了！不过，为了证明这一结论，数学家花费了124年的时间。

1852年，一位叫格思里的年轻人注意到一个有趣的事实：英国的郡都可以用4种颜色来染色，且使得相邻的郡染不同的颜色。具有数学头脑的他想：“是否所有平面地图都可以仅用4种颜色染色，且使得有公共边界线的区域着不同颜色呢？”最迷人的数学难题之一由此问世了。

德·摩根

四色问题提出后不久，著名数学家德·摩根就进行了研究。他没有取得成功，但得到一个结论。这个结论说“如果四个区域中的每一个都和其他三个区域相邻，那么其中必有一个区域被其他区域包围，因而任何第五个区域都不可能与它相邻”，即“没有地图包含5个两两相邻的区域”。许多人认为从这一结论出发可以推出四色猜想成立。其实，这正是试图证明四色猜想的人常会掉进去的一个陷阱。

在德·摩根之后，四色问题的研究沉寂了20多年。1878年，英国当时最著名的数学家凯莱向数学界重提这一表述简单的问题。人们对它的兴趣复燃了，众多数学家与数学爱好者纷纷加入到四色猜想的大会战中。

仅仅一年后，好消息传来，一个叫肯普的人宣布自己证明了四色猜想。在仅8页的论文中，肯普给出了四色猜想的一种极为精巧的证明。随着这篇论文的发表，数学界普遍认为四色问题已成过去式。然而，11年后风波骤起。

1890年，英国数学家希伍德指出肯普的证明有漏洞！更麻烦的是，没有人能修补这一微妙但却致命的错误。肯普的证明被否定了。作为一种补救，希伍德运用肯普的技巧证明了：任何地图着色只用5种颜色就足够了。这被称为五色定理。

如何把五色降为四色，在此后几十年里一直困扰着数学界。数学家认识到，横亘在面前的不是一块小石头，而是一座大山。

1913年，美国数学家伯克霍夫在四色问题研究中迈出一步。1920年，富兰克林应用他的思想，证明当国家数目不超过25时，四色猜想成立。之后，四色猜想成立的国家数目逐渐提高：27、35、39、52。1976年，这一纪录刷新为95，进展缓慢，而且整个问题的解决看上去遥遥无期。

任一正规地图都有4种不可避免组合

然而就在1976年6月，美国数学家阿佩尔、哈肯在经过四年的努力并在计算机上花费了1200机时后，最终宣布了他们的成功。四色定理被证明了！这条爆炸性新闻迅速传遍了数学界。

令数学界感到同样震惊的是他们的证明技术：计算机完成了证明中最困难的部分。1977年，两人的论文正式发表，除长达139页的正文外，还附上电子计算机程序的微型胶片400页。1993年，几位数学家进一步简化了四色定理的证明。但是，新的证明中仍然包含不能人工核查的计算机步骤。

那么，“任何平面地图只需要四种颜色着色”这个能被孩子理解的问题，是否存在不依赖计算机的简捷的人工证明呢？或许，一种简单的证明在将来会被一个聪明人发现，但更可能的是这样的人工证明并不存在。如果是这样，那么四色定理的证明就为数学中古怪事件提供了一个例子：容易理解的问题与惊人复杂的证明之结合。（韩雪涛）

用4种颜色着色的地图（示意图）

【微问题】你觉得四色定理已经被证明了吗？

【关键词】四色定理　四色猜想