能够“证明”任意三角形都是等腰三角形吗

任何三角形都等腰？听到这样的结论，人们的第一反应是：这绝不可能。不相信吗？看看我们给出的“证明”。

如果三角形本来等腰，结论自然成立。下面给出非等腰三角形也等腰的“证明”。

证明过程是这样的。设三角形ABC是非等腰三角形。我们分别作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线，则两者一定相交（若重合或平行，都会推出三角形等腰）。

设交点为O点，则两者或相交于三角形内部，如图1所示；或相交于三角形外部，如图2所示。

图1

图2

过点O分别作AB、AC的垂线OE与OF，交AB于点E，交AC于点F，两个直角三角形AOE与AOF有一公共边AO，又∠EAO=∠FAO，因此两三角形全等。由此推得AE=AF，并且OE=OF。

连接OB、OC，因为OB=OC（O为BC垂直平分线上的点），所以直角三角形OBE与直角三角形OCF全等，从而BE=CF。

于是，对图1情形有AB=AE+BE=AF+CF=AC。而对图2情形有：AB=AE-BE=AF-CF=AC。

无论哪种情况，我们都证明了非等腰三角形ABC等腰！

“证明”似乎无懈可击，结论却明显不成立。问题出在什么地方呢？“证明”过程中的漏洞点出来其实很简单：上面画的图形是不准确的。正确的图形如图3所示（设AB＞AC）：

图3

这样，虽然如上面所证，仍能通过两个三角形全等推得AE=AF以及BE=CF。但AB=AE+BE，而AC=AF-CF，因此推不出AB=AC。

这一方面提醒我们，画图时应注意准确，否则会把自己引入歧途。另一方面告诉我们直观尽管有很大用处，但是由几何直观得到的结论并不一定可靠。（韩雪涛）