是不是任何曲线都可以测出其长度

一般来说像圆周这样的曲线，可以用尺来测量其长度。如果尺长为s，首尾相接测量n次，则曲线的长度约等于ns，并且尺长越短，测出的长度越精确。而当尺长s趋向于0时，测出的长度ns就趋向于曲线的精确长度。那么是否这样的测量方法对所有的曲线都有效呢？或者说是否所有的曲线都能测出其长度呢？为此，先看一个例子。瑞典数学家冯·科赫在1904年构造了一条曲线，称为科赫曲线。构造过程如下：

（1）取一条长度为1的线段。

（2）将线段三等分，用一个等边三角形的两边代替三等分的中间部分，原线段变成由4条长度为原线段长度1/3的线段组成的折线。

（3）对每一条线段重复上面的步骤。

（4）无限重复上述步骤，最后得到的一条曲线就称为科赫曲线。

科赫曲线的构造过程

现在来测量一下科赫曲线的长度。

假设一开始的线段长度为1，如果用长度为1/3的尺测量，则需要测量4次，量出的长度为4/3。如果尺的长度为1/9，则需要测量16次，量出的长度为16/9。如果尺长为1/27，则需要测量64次，量出的长度为64/27。

科赫曲线测量的长度是无限增大的

一般地，如果尺长为（1/3）n，则需要测量4n次，测出的长度为（4/3）n。从中可以看出，如果尺长越来越短，即n越来越大，则测出的长度也越来越大。且当n无限增大，测出的长度也无限增大，不会接近某个确定数值，这就是说科赫曲线无法求出其长度，或者说，科赫曲线的长度是无穷大的！

由此可知，并非所有曲线都可以测出其长度的。（邱维元）

【微问题】你知道哪些不可求长曲线？

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