如何测量一条曲线的长度

如果要测量一条直线的长度，只需要一把尺就可以了。如果要测量一段曲线的长度，自然也需要用尺去量。如果知道尺的长度为s，量了n次，那么，这段曲线的长度近似等于ns。但这只是一个近似值，而不是曲线真正的长度。因为在这个测量过程中，忽略了每一小段曲线的弯曲，因此，测出的长度显然要比曲线的真实长度短一些。

用直尺测量曲线，尺越短测量结果越精确

要提高测量的精度，可以用更短的尺来测量曲线，这样原来被直线代替的那一段曲线上的一些弯曲部分也可以被测量出来，因此测得的长度更接近曲线的真实长度。而且用的尺越短，测出的长度越接近于曲线的真实长度。但不管怎样，结果仍然是近似值。要求出曲线的真实长度，必须让尺长无限缩短直至趋向于0。这时，如果测出的长度越来越接近于某个确定的值，则这个值就是所测曲线的真实长度。

古希腊数学家阿基米德

对于一些常见的曲线，比如圆周、二次曲线的一段等，都可以用上述方法计算其长度。这种测量或者计算曲线长度的想法，2000多年前的阿基米德就在使用了。阿基米德为计算圆周率，用圆内接正多边形的周长来计算圆周长，实际上就是以圆内接正多边形的边长作为尺长来测量圆周长，而测量的次数就是内接正多边形的边数。记内接正n边形的边长为sn，则其周长为nsn，这就是用长为sn的尺测量圆周长所量出的长度。当内接正多边形的边数n越来越大，边长sn就越来越短，也就是尺长越来越短。因此，量出的圆周长越来越精确。如果让n趋向于无穷大，或者尺长sn趋向于0，就可得到圆周的精确长度。

数学上，简单地用直尺测量曲线长度并非总是行得通的，曲线长度的数学定义要复杂得多，我们无法在这里严格介绍，但其总的思想是一样的。（邱维元）

自然界中的曲线