什么样的正多边形可以用尺规作图

用直尺和圆规，容易作出正三角形、正六边形和正方形。多花点心思的话，正五边形也能画出来。但要用尺规作图作出其他正多边形，似乎不太容易。正七边形能否用尺规作图作出，这个问题曾经难倒过不少几何学家。我们不禁要问，什么样的正多边形能用尺规作图画出来？

几个尺规作图的实例

邮票上的高斯与正十七边形

第一位给这个问题带来曙光的，是大数学家高斯。他在年仅19岁的时候，就证明了正十七边形能用尺规作图，这是正多边形的尺规作图从古希腊以来的第一个突破。而在仅仅五年之后，他在著作《算术研究》中，就给出了如下的定理：假设n是一个整数，如果n是2的幂和几个不同的费马素数的乘积，那么正n边形可以用尺规作图作出。所谓费马素数，就是能表达成22k+1(k=0，1，2，…)的素数。

高斯还写道，他认为能用尺规作图作出的正多边形的边数也必定符合这个条件，但他没有给出证明，详细的证明在1837年由另一位数学家旺策尔给出。他的证明涉及代数中的所谓“分圆域”和“域扩张”的理论，这又是一个用代数方法解决几何问题的例子。根据他们的结论，正七边形自然不能用尺规作图作出。然而对于能作出的正多边形，他们的理论并没有给出实际的作图方法。

正十七边形的尺规作图

在这些能用尺规作图画出来的正多边形中，边数为费马素数的正多边形自然是最基本的。直到现在，我们只发现了5个费马素数，分别是3，5，17，257，65537。正三角形和正五边形的作法，早在古希腊的《几何原本》中就有记载。高斯给出了正十七边形的作法，而对于另外两个费马素数，不怕麻烦的数学家也给出了对应的正多边形的作图方法。据说其中正65537边形作法的手稿有整整200页，可见这些作图方法多么繁复。

高斯关于正十七边形的定理其实有着更深远的意义。当时19岁的高斯在大学里对数学和文学都很感兴趣，而他在尺规作图上的突破激发了他对数学的兴趣，使他坚定了投身数学的意向。他本人也很喜欢这个定理，甚至希望在自己的墓碑上刻上一个正十七边形。高斯的数学生涯硕果累累，而对数学的兴趣，正是高斯打开数学之门的钥匙。（方弦）

【科学人】高斯

高斯（1777—1855）出生于德国北部小城不伦瑞克，是有史以来最杰出的数学家之一，被誉为“数学王子”。高斯很小就表现出非凡的算术才能，出身贫寒的他最终受到了斐迪南公爵的资助，使他在卡罗琳学院完成学业。1795年，高斯来到哥廷根大学。翌年因给出正十七边形的尺规作图法，使他决心终生从事数学。1799年，高斯又首次严格证明了一个重要定理：在复数域中任何一元代数方程都有根，这一结果被称为“代数基本定理”。1801年，他出版了数论名著《算术探究》。尽管高斯通晓那个时代的数理科学，但对数论感情尤深。高斯还是素数定理的提出者之一。