志第一 历志一 治历本末

自《三统》术以后七十余家，至郭守敬之《授时》，测验愈精，析理愈微，立数愈简，信可谓度越前古者矣。然日月星辰之高远，而以一人之智力穷之，欲其事事吻合永无差忒，此必不可得之数也。明之《大统》实本《授时》，至成化以后，交食已往往不验。皇朝宣城梅文鼎、婺源江永皆深通数理，其纠《授时》疏舛凡数事，一曰增损岁余岁差，一岁小余，古强今弱，一由日轮径差，一由最卑动移，《授时》考古则增岁余而损岁差，推来则增岁差而损岁余，乃未得其根而以法迁就之，似密实疏，不足为法；一曰岁实消长，天行盈缩进退以渐，无骤增骤减之理，《授时》百年消长一分，是百年之内皆无所差，逾一年则骤增减一分，又积百年则平差一分，逾一年又骤增减一分，无此推算之法；一曰二十四气用恒气，当时高冲与冬至同度，最高与夏至同度，冬至为盈初，夏至为缩初，以为盈缩之常限如此，故以两冬至相距之日均为二十四气，谓合于天之平分数也，设如五十余年之后，高卑两点各东移一度，则平冬至与定冬至不相值，及其极也平冬至与定冬至相差两日，犹能以两定冬至相距之日均为二十四气乎？

且其求冬至也，自丙子年立冬后，依每日测景取对，冬至前后日差同者为准，得丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻半，又定戊寅冬至在癸卯日夜半后三十三刻，己卯冬至在戊申日夜半后五十七刻半，庚辰冬至在癸丑日夜半后八十一刻半，辛巳冬至在己未日夜半后六刻。其求岁余也，自宋《大明》以来，得冬至时刻真数者有六，用以相距，各得其时合用岁余，考验四年相符不差，仍自大明壬寅年距今八百一十九年，每岁合得三百六十五日二十四刻二十五分，减大明术一十二秒，其二十五分为今律岁余合用之数。以此二事考之，则《授时》当年所定之岁实已有微差，稽之于史又多牴牾。夫一岁小余二十四刻二十五分，积之四岁正得九十七刻，丁丑冬至在戊戌日夜半后八刻半则辛巳冬至宜在己未夜半后五刻，不应有六刻也。如以辛巳之六刻为是，则丁丑之冬至宜在九刻，不应为八刻半也。此四年既皆实测所得，则已多半刻矣，而云相符不差，何也？又考大明五年十一月三日乙酉夜半后三十二刻七十分辰初三刻冬至，大明壬寅下距至元辛巳八百一十九年，以《授时》岁实积之，凡二十九万九千一百三十三日六十刻七十五分，以乙酉辰初三刻距己未丑初二刻，凡二十九万九千一百三十三日九十二刻，较多三十三刻，而云自大明壬寅距今每岁合得此数，何也？又云减大明术一十一秒，考大明术纪法与周天一岁小余二十四刻二十八分一十四秒，《授时》减去三分一十四秒非一十一秒也。又古时太阳本轮均轮半径之差大于今日，则加减均数亦大，而冬至岁实宜更增矣，至元辛巳间高冲约与冬至同度，则岁实尤大，其小余刻下之分约有三十分，而《授时》定为二十五分，宜其自丁丑至于辛巳四年之间，即有半刻之差，而守敬未之觉也。凡此数事，皆足订《授时》之误，今撮其大要著于篇，以备治历者之参考焉。至《授时》用平方立方以求盈缩迟疾差，犹开方之旧术用天元一御弧矢起数于围三径一，亦失之疏，若以弦矢求弧背前后失均，象限以内差而多象限以外差而少，此又不能为前人讳者也。《历经》《历议》皆守敬所撰，世祖诏李谦为《历议》润色其书而已，谦不能作也。札马鲁丁之《万年历》，实即明人所用之《回回历》，《明史》详矣，不具论。

治历本末

蒙古初无历法，太祖十五年，驻跸撒马尔干城，回鹘人奏五月望月蚀，中书令耶律楚材以《大明历》推之，太阴当亏二分，食甚在子正，乃未尽初更而月已蚀。是年二月、五月朔，微月见于西南。楚材以旧历不验，遂别造《庚午元历》，据《大明历》减周天七十三秒，岁差亦减七十三秒。以中元庚午岁，国兵南伐，天下略定，推上元庚午岁天正十一月壬戌朔，子正冬至，为太祖受命之符。又以西域、中原地逾万里，依唐僧一行里差之说以增损之，东西测侯不复差忒。乃表上于行在，曰：“汉唐以来，经元创法，不啻百家。其气侯之早晏，朔望之疾徐，二曜之盈衰，五星之起伏，疏密无定，先后不同，盖都邑之各殊，或历年之渐远，不得不差也。唐历八徙，宋历九更，金《大明历》百年才经一改。此去中原万里，以昔程今，昔密今疏，东微西著，今二月、五月朔，微月见于西南，较之于历，悉为先天，自汉唐以来，历算之书备矣，俱无此说。是年正月、四月，虽皆为小尽，然亦未有朔日见月者也。”是时，太祖方用兵西域，其书不果颁用。楚材尝言，西域历五星密于中国，又作《麻答历》，今不传。楚材父履，在金末作《乙未元历》，楚材盖本其父之书，更名为《庚午元历》云。至世祖至元四年，西域人札马鲁丁用回回法撰《万年历》，帝稍采用之。其法为默特纳国王马哈麻所造历，元起西域阿剌必年，即隋开皇己未，不置闰月，以三百六十五日为一岁，岁十二宫，宫有闰日，凡百二十八年宫闰三十一日，以三百五十四日为一周，周十二月，月有闰日，凡三十年月闰十一日，历千九百四十一年，宫月日辰再会，此其立法之大概也。

十三年，世祖平宋，诏前中书左丞许衡、太子赞善王恂、工部郎中郭守敬立局改治新历。先是，太保刘秉忠以《大明历》辽、金承用岁久，浸以后天，议修正之，已而秉忠卒，事遂寝。至是，世祖思用其言，遂命恂与守敬率南北日官陈鼎臣、邓元麟、毛鹏翼、刘巨源、王素、岳铉、高敬等，分掌测验推步，以衡能推明历理，俾参预之。守敬首言，历之本在于测验，而测验之器莫先仪表。今司天浑仪，宋皇祐中汴京所造，不与此处天度相符，比量南北二极，约差四度。表石年深，亦复欹侧不可用。乃尽考其失，而移置之。既又别图爽垲，以木为重棚，创作简仪、高表，用相比覆。又以为天枢附极而动，昔人尝展管望之，未得其的，作候极仪。极辰既位，天体斯正，作浑天象。象虽形似，莫适所用，作玲珑仪。以表之矩方，测天之正圆，莫若以圆求圆，作仰仪。古有经纬，结而不动，守敬则易之，作立运仪。日有中道，月有九行，守敬则一之，作证理仪。表高景虚，罔象非真，作景符。月虽有明，察景则难，作窥几。历法之验，在于交会，作日月食仪。天有赤道，轮以当之，两极低昂，标以指之，作星晷定时仪。以上凡十三等。又作正方案、丸表、悬正仪、座正仪，凡四等，为四方行测者所用。又作《仰规覆矩图》《异方浑盖图》《日出入永短图》，凡五等，与上诸仪互相参考。十六年，改局为太史院，以赞善王恂为太史令，守敬为同知太史院事，给印章，立官府。是年，奏进仪表式样守敬对御指陈理致，一一周悉，自朝至于日晏，上不为倦。守敬奏：“唐一行开元间令天下测景，书中见者凡十三处。今疆宇比唐尤大，若不远方测验，日月交食分数时刻不同，昼夜长短不同，日月星辰去天高下不同，可先南北立表，取直测景。”上可其奏，遂设监候官一十四员，分道相继而出。先测得南海北极出地一十五度，夏至景在表南长一尺一寸六分，昼五十四刻，夜四十六刻；衡岳北极出地二十五度，夏至日在表端无景，昼五十六刻，夜四十四刻；岳台北极出地三十五度，夏至景长一尺四寸八分，昼六十刻，夜四十刻；和林北极出地四十五度，夏至景长三尺二寸四分，昼六十四刻，夜三十六刻；铁勒北极出地五十五度，夏至景长五尺一分，昼七十刻，夜三十刻；北海北极出地六十五度，夏至景长六尺七寸八分，昼八十二刻，夜一十八刻。继又测得上都北极出地四十三度少；大都北极出地四十二度强，夏至晷景长一丈二尺三寸六分，昼六十二，刻夜三十二刻；益都北极出地三十七度少；登州北极出地三十八度少；高丽北极出地三十八度少；西京北极出地四十度少；太原北极出地三十八度少；安西府北极出地三十四度半强；兴元北极出地三十三度半强；成都北极出地三十一度半强；西凉州北极出地四十度强；东平北极出地三十五度太强；大名北极出地三十六度；南京北极出地三十四度太强；阳城北极出地三十四度太；扬州北极出地三十三度；鄂州北极出地三十一度半；吉州北极出地二十六度半；雷州北极出地二十度太；琼州北极出地十九度太。

十七年新历告成，守敬上奏曰：

臣等窃闻帝王之事，莫重于历。自黄帝迎日推策，帝尧以闰月定四时成岁，舜在璇玑玉衡以齐七政。爰及三代，历无定法，周秦之间，闰余乖次。西汉造《三统历》，百三十年而后是非始定。东汉造《四分历》，七十余年而仪式备。又百二十一年，刘洪造《乾象历》，始悟月行有迟速。又百八十年，姜岌造《三纪甲子历》，始悟以月食冲检日宿度所在。又五十七年，何承天造《元嘉历》，始悟以朔望及弦定大小余。又六十五年，祖冲之造《大明历》，始悟太阳有岁差之数，极星去不动处一度余。又五十二年，张子信始悟日月交道有表里，五星有迟疾留逆。又三十三年，刘焯造《皇极历》，始悟日行有盈缩。又三十五年，傅仁均造《戊寅元历》，颇采旧仪，始用定朔。又四十六年，李淳风造《麟德历》，以古历章蔀元首分度不齐，始为总法，用进朔以避晦晨月见。又六十三年，僧一行造《大衍历》，始以朔有四大三小定九服交食之异。又九十四年，徐昂造《宣明历》，始悟日食有气、刻、时三差。又二百三十六年，姚舜辅造《纪元历》，始悟食甚泛余差数。以上计千一百八十二年，历经七十改，其创法者十有三家。

自是又百七十四年，钦惟圣朝统一六合，肇造区夏，专命臣等改治新历，臣等用创造简仪、高表，凭其测到实数，所考正者凡七事：

一曰冬至。自丙子年立冬后，依每日测到晷景，逐日取对，冬至前后日差同者为准，得丁丑年冬至在戊戌日夜半后八刻半，又定丁丑夏至得在庚子日夜半后七十刻，又定戊寅冬至在癸卯日夜半后三十三刻，己卯冬至在戊申日夜半后五十七刻半，庚辰冬至在癸丑日夜半后八十一刻半，各减《大明历》十八刻，远近相符，前后应准。

二曰岁余。自刘宋《大明历》以来，凡测景、验气，得冬至时刻真数者有六，用以相距，各得其时合用岁余。今考验四年，相符不差，仍自宋大明壬寅年距至今日八百一十年，每岁合得三百六十五日二十四刻二十五分，其二十五分为今历岁余合用之数。

三曰日躔。用至元丁丑四月癸酉望月食既推求日躔，得冬至日躔赤道箕宿十度，黄道箕九度有畸。仍凭每日测到太阳躔度，或凭星测月，或凭月测日，或径凭星度测日，立术推算，起自丁丑正月至己卯十二月，凡三年，共得一百三十四事，皆躔于箕，与月食相符。

四曰月离。自丁丑以来至今，凭每日测到逐时太阴行度推算，变从黄道求入转极迟、极疾并平行处，前后凡十三转，计五十一事，内除去不真的外，有三十事得《大明历》入转后天，又因考验交食，加《大明历》三十刻，与天道合。

五曰入交。自丁丑五月以来，凭每日测到太阴去极度数，比拟黄道去极度，得月道交于黄道，共得八事，仍依日食法度推求，皆有食，分得入时刻，与《大明》所差不多。

六曰二十八宿距度。自汉《太初历》以来，距度不同，互有损益，《大明历》则于度下余分附以太半少，皆私意牵就，未尝实测其数。今新仪皆细刻周天度分，每度为三十六分，以距线代管窥，宿度余分并依实测，不以私意牵就。

七曰日出入昼夜刻。《大明历》日出入昼夜刻，皆据汴京为准，其刻数与大都不同。今更以本方北极出地高下，黄道出入内外度，立术推求每日日出入昼夜刻，得夏至极长，日出寅正二刻，日入戌初二刻，昼六十二刻，夜三十八刻；冬至极短，日出辰初二刻，日入申正二刻，昼三十八刻，夜六十二刻，永为定式。

所创法凡五事：一曰太阳盈缩，用四正定气立为升降限，立招差求得每日行分初末极差积度，比古为密；二曰月行迟疾，古历皆用二十八限，今以万分日之八百二十分为一限，凡析为三百三十六限，依垛叠招差求得转分进退，其迟疾度数逐时不同，盖前所未有；三曰黄赤道差，旧法以一百一度相减相乘，今依算术句股弧矢方圆斜直所容，求到度率积差，差率与天道实为吻合；四曰黄赤道内外度，据累年实测，内外极度二十三度九十分，以圆容方直矢接句股为法，求每日去极，与所测相符；五曰白道交周，旧法黄道变推白道以斜求斜，今用立浑比量，得月与赤道正交，距春秋二正黄赤道正交一十四度六十六分，拟以为法，推逐月每交二十八宿度分，于理为尽。

诏赐名曰《授时历》。十八年，颁新历于天下。十九年，守敬以推步之式与立成之数，皆无定稿，乃著《推步》七卷，《立成》二卷，《历议拟稿》三卷，《转神选择》二卷，《上中下三历注式》十二卷，表上之。二十年，又诏太子谕德李谦就守敬之《历议》稿重加修订，以阐新历顺天求合之理。

大德三年八月朔，时加巳，依新历日食二分有奇，至其时不应，台官皆惧，保章正齐履谦曰：“日当食不食，古有之，况时近午，阳盛阴微，宜当食不食。”遂考唐开元以来当食不食者凡十事以闻。六年六月朔，时加戌，依新历日食五十七秒，众以涉交既浅且近浊，欲匿不报，履谦曰：“吾所掌者常数也，其食与否则系于天。”独以状闻，及其时果食。盖高远难穷之事，必积时累验乃见端倪，《授时历》推日食之法，较前之十三家最密矣，然尚不能无数刻之差，故元之一代，日食四十有五，推食而不食者一，食而失推者一，夜食而误昼者一，履谦谓食与否系于天，是犹泥前人当食不食、不当食而食之谬说，诬莫甚矣。泰定间，履谦为太史院使，以《授时历》行五十年未尝推考，乃日测晷景，并晨昏五星宿度，自至治三年冬至至泰定二年夏至，天道加时真数，各减见行历书二刻，撰《二至晷景考》二卷。《授时》虽有经串，而经以著定法，串以纪成数，求其法之所以然，数之所从出，则略而不详，作《经串演说》八卷，以发明其蕴焉。

时鄱阳人赵友钦，推演《授时》之理，著《革象新书》五卷，号为新历之学。其《历法改革》篇曰：“历法由古及今六十余术矣，汉《太初》粗为可取，然犹疏略未密，唐一行作《大衍术》，当时以为密矣，以今观之，犹自甚疏，盖岁浅则差少未觉，久而积差渐多，不容不改。要当随时测验，以求真数。”其《日道岁差》篇曰：“统天术谓周天赤道三百六十五度二十五分七十五秒，周岁三百六十五日二十四分二十五秒，百年差一度半。然又谓周岁渐渐不同，上古岁策多，后世岁策少，如此则上古岁差少，后世岁差多，当今术法仿之，立减加岁策之法，上考往古百年加一秒，下验将来百年减一秒。”其《黄道损益》篇曰：“二至之日黄道平，其度敛狭每度约得十之九二分斜行赤道之交。今之《授时》术步得冬至日躔箕宿，以此知寅申度数最少，己亥度数最多，其余则多寡稍近。”其《积年日法》篇曰：“前代造术者逆求往古，曰上元求其积年总会，是以必立日法，然有所谓截元术，但将推步定数为顺算逆考，不求其齐当。今《授时》术采旧术截元之术，凡积年日法皆所不取。”其《日月盈缩》篇曰：“月行十三度余十九之七，然或先期或后期，有差至四五度者。后汉刘洪始考究之，知月有盈缩，隋之刘焯，始觉太阳亦有盈缩，最多之时在于春秋二分，均差两度有余。李淳风有推步月孛法，谓六十二日行七度，六十二年七周天，所谓孛者乃彗星之一种，光芒偏摕者则谓之彗，光芒四出如浑圆者乃谓之孛，然孛以月为名者，孛之所在太阴所行最迟，太阴在孛星对冲处，则所行最疾，孛星不常见，止以太阴所行最迟处测之。”其《月有九道》篇曰：“月行出入黄道之内外，远于黄道处六度二分，月道与黄道相交处在二，交之始名曰罗睺，交之中名曰计都，自交初至于交中，月在黄道外名曰阳限，自交中至于交出，月在黄道内名曰阴限。所谓九行者，当以画图比之，四图各画黄道似一圆环，俱于环南定为夏至，环北定为冬至，环西定为春分，环东定为秋分。将一图画为青道，与黄道交于南北，南交为罗，北交为计，其青道一边入在黄道西之东，是内青道，一边出在黄道东之东，是外青道。又将一图画自道，亦与黄道交于南北，南交为计，北交为罗，其白道一边入在黄道东之西，是内白道，一边出在黄道西之西，是外白道。又将一图画朱道，与黄道交于东西，东交为计，西交为罗，其朱道一边入黄道之南，是内朱道，一边出在黄道南之南，是外朱道。又将一图画黑道，亦与黄道交于东西，东交为罗，西交为计，其黑道一边入在黄道南之北，是内黑道，一边出在黄道北之北，是外黑道。此虽画四图，然四图之八道止是一道也。本八道而曰九行者，以北道之行交于黄道，故道以九言也。八道常变易，不可置于浑仪上，亦不得画于星图，所可具者黄赤二道耳。欲别于黄故涂以赤，赤道近八道皆相交远近，朱道止十八度远，黑道至三十度远，青白二道约二十四度远。”其《地域远近》篇曰：“古者立八尺之表，以验四时日景，地中夏至景在表北一尺六寸，冬至景在表北一丈三尺。南至交广，北至铁勒等处，验之俱各不同。表高八尺似失之短，至元以来，表长四丈，诚万古之定法也。所谓土圭者，自古有之，然地上天多早晚太阳与人相近，则景移必疾，日午与人相远，则景移必迟，世间土圭均画而已，岂免午侵己未而早晚时刻俱差。地中差已如是，若以八方偏地验之，土圭之不可准尤为显然，偏东者早景疾而晚景迟，午景先至，偏西者早景迟而晚景疾，午景后期，偏北者少其显而景迟，偏南者多其画而景疾，若南越短景南指而子午反复，则又讹逆甚矣。”其《日月薄食》篇曰：“日之圆体大，月之圆体小，日道之周围亦大，月道之周围亦小，日道距天较近，月道距天较远。日月之体与所行之道，虽有少广之差，然月与人相近，日与人相远，故月体因近视而可比日道之广，日食月食，当以天度经纬而推，同经不同纬止曰合朔，同经同纬合朔而有食矣。人望日体见为月之黑体所障，故云日食，然日体未尝有损，所谓食者强名而已。日月对躔而望若不当二交前后则不食，望在二交前后则必食，或既或不既，当以距交远近而推日月之圆径相倍，日径一度月径止得日径之半，然在于近视亦准一度，是犹省秤比于复秤，斤两虽同，其实则有轻重之异，日之圆径倍于月，则暗虚之圆径亦倍于月，月既准一度，则暗虚广二度矣。月食分数止以距交近远而论，别无四时加减，八方所见食分并同。日食则不然，旧历云假令中国食既，戴日之下所亏才半，化外反观则交而不食。何以言之？日月如大小二球共悬一索，日上月下，相去稍远，人在其下正望之，黑球遮尽赤球，比若食既，若傍视，则分远近之差，即食数有多寡也。”其《五纬距合》篇曰：“古者止知五纬距度，未知有变数之加减。北齐张子信仰观岁久，始知五纬又有盈缩之变，当加减常数，以求其逐日之躔。所以然者，盖五纬不由黄道，亦不由月之九道，乃出入黄道内外，各自有其道，视太阳远近而迟疾者，如足力之勤倦。又有变数之加减者，比如道里之径直斜曲。”其《句股测天》篇曰：“古人测景，千里一寸之差，犹未亲切。今别定表之制度，并述元有算法。就地中各去南北数百里，仍不偏于东西，俱立一表，约高四丈，于表首下数寸作一方窍，外广而内狭，当中薄如连边两旁如侧，置漏底之碗，形圆而窍方。以南北表景之数相减，余名景差；两表相距里路各乘南北表景，各如景差而一，即得二表各与戴日之地相距数。日平远各以表景加之，所得各以表高乘之，各如表景而一，即得日轮顶与戴日地相距数。以南北表景各加平远所得自乘，名句幂，日高自乘，名股幂两幂，相并，名弦幂，开为平方，名曰日远，乃南北表窍之景距日斜远也。”其《乾象周髀》篇曰：“古人谓圆径一尺周围三尺，后世考，究则不然。圆一而周三，则尚有余，围三而径一，则为不足，盖围三径一是六角之田也。或谓圆径一尺，周围三尺一寸四分；或谓圆径七尺，周围二十二尺；或谓圆径一百一十三，周围三百五十五。径一而周三一四，犹自径多围少；径七而周二十二，却是径少周多；径一百一十三周三百五十五最为精密。其考究之术，画百眼茶盘，一眼广一寸，方圆之内画为圆图，径十寸，圆内又画小方图，小方以算术展为圆象，自四角之方添为八角，曲圆为第一次，若第二次则为曲十六，第三次为则曲三十二，第四次则为曲六十四，凡多一次其曲必倍，至十二次则其为曲一万六千三百八十四，其初之小方渐加渐展渐满渐实，角数愈多，而其为方者不复方而变为圆矣。今先以第一次言之，内方之弦十寸名大弦，自乘得一百寸名大弦幂，内方之句幂五十寸，名第一次大句幂。以第一次大句幂减其大弦幂余五十寸，名大股幂，开方得七寸七厘一毫有奇，名第一次大股。以第一次大股减其大弦，余二寸九分二厘八毫有奇，名第一较，折半得一寸四分六厘四毫有奇，名第一次小句。此小句之数，乃内方之四边与圆围最相远处也。以第一次小句自乘，得二寸一分四厘四毫有奇，名第一次小句幂。以第一次大句幂折半，得二十五寸，又折半得十二寸五分，名第一次小股幂。并第一次小句幂得一十四寸六分四厘四毫有奇，名第一次小弦幂；开方得三寸八分二厘六毫有奇，名第一次小弦，即是八曲之一。八乘第一次小弦，得三十寸六分一厘有奇，即是八曲之周围也。此以小数求之，不若改为大数，将大弦改为一千寸，然后依法而求，若求第二次者，以第一次小弦幂就名第二次大句幂，以第一次大股幂减其大弦幂，余为第二次大股幂，开方为第二次大股，以减其大弦，余为第二较，折半名二次小句，此小句之数即是八曲之边与圆围最相远处也。以第二次小句自乘，名第二次小句幂，以第二次大句幂两折，名第二次小股幂，以第二次小股幂并第二次小句幂，名第二次小弦幂，开方为第二次小弦，即是十六曲之一，以十六乘第二小弦，即是十六曲之周围也。以第二次仿第一次，若至十二次，亦递次相仿，置第十二次之小弦，以第十二次之曲数一万六千三百八十四乘之，得三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇，即是千寸径之周围也。以一百一十三乘之，果得三百五十五，故言其法精密。要之，方为数之始，圆为数之终，圆始于方，方终于圆，周髀之术无出于此矣。”友钦阐明历理，于《授时》术尤有深得，传其学于龙游人朱晖。有元一代，不为历官而知历者，友钦一人而已。